Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57847 / 84563
↖ ↑ ↗
← S 46.231153°
W 21.118469°		 ← 211.28 m → S 46.231153°
W 21.115722°		 →
↑
211.26 m
↓
↑
211.26 m
↓
S 46.233053°
W 21.118469°		 ← 211.27 m →
44 634 m²		 S 46.233053°
W 21.115722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441341400146484 y=0.645168304443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441341400146484 × 217)
    floor (0.441341400146484 × 131072)
    floor (57847.5)     		tx = 57847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645168304443359 × 217)
    floor (0.645168304443359 × 131072)
    floor (84563.5)     		ty = 84563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57847 / 84563 ti = "17/57847/84563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57847/84563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57847 ÷ 217
    57847 ÷ 131072     		x = 0.441337585449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84563 ÷ 217
    84563 ÷ 131072     		y = 0.645164489746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441337585449219 × 2 - 1) × π
    -0.117324829101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.36858682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645164489746094 × 2 - 1) × π
    -0.290328979492188 × 3.1415926535     		Φ = -0.912095389070808
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36858682} λ = -0.36858682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.912095389070808))-π/2
    2×atan(0.401681662229541)-π/2
    2×0.381955244742045-π/2
    0.76391048948409-1.57079632675     		φ = -0.80688584
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36858682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.118469°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80688584 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.231153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57847 KachelY 84563 -0.36858682 -0.80688584 -21.118469 -46.231153
    Oben rechts KachelX + 1 57848 KachelY 84563 -0.36853888 -0.80688584 -21.115722 -46.231153
    Unten links KachelX 57847 KachelY + 1 84564 -0.36858682 -0.80691900 -21.118469 -46.233053
    Unten rechts KachelX + 1 57848 KachelY + 1 84564 -0.36853888 -0.80691900 -21.115722 -46.233053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80688584--0.80691900) × R
    3.31600000000876e-05 × 6371000     		dl = 211.262360000558m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80688584--0.80691900) × R
    3.31600000000876e-05 × 6371000     		dr = 211.262360000558m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36858682--0.36853888) × cos(-0.80688584) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.691750632080358 × 6371000     		do = 211.278448698473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36858682--0.36853888) × cos(-0.80691900) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.691726685655118 × 6371000     		du = 211.271134843823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80688584)-sin(-0.80691900))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691750632080358-0.691726685655118)×R²
    abs(-0.36853888--0.36858682)×2.39464252405064e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39464252405064e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39464252405064e-05×40589641000000     		ar = 44634.4111224066m²