Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57846 / 84501
↖ ↑ ↗
← S 46.113230°
W 21.121216°		 ← 211.73 m → S 46.113230°
W 21.118469°		 →
↑
211.71 m
↓
↑
211.71 m
↓
S 46.115134°
W 21.121216°		 ← 211.72 m →
44 825 m²		 S 46.115134°
W 21.118469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441333770751953 y=0.644695281982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441333770751953 × 217)
    floor (0.441333770751953 × 131072)
    floor (57846.5)     		tx = 57846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644695281982422 × 217)
    floor (0.644695281982422 × 131072)
    floor (84501.5)     		ty = 84501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57846 / 84501 ti = "17/57846/84501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57846/84501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57846 ÷ 217
    57846 ÷ 131072     		x = 0.441329956054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84501 ÷ 217
    84501 ÷ 131072     		y = 0.644691467285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441329956054688 × 2 - 1) × π
    -0.117340087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.36863476
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644691467285156 × 2 - 1) × π
    -0.289382934570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.909123301294365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36863476} λ = -0.36863476}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.909123301294365))-π/2
    2×atan(0.402877271235233)-π/2
    2×0.382984319751152-π/2
    0.765968639502303-1.57079632675     		φ = -0.80482769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36863476} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.121216°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80482769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.113230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57846 KachelY 84501 -0.36863476 -0.80482769 -21.121216 -46.113230
    Oben rechts KachelX + 1 57847 KachelY 84501 -0.36858682 -0.80482769 -21.118469 -46.113230
    Unten links KachelX 57846 KachelY + 1 84502 -0.36863476 -0.80486092 -21.121216 -46.115134
    Unten rechts KachelX + 1 57847 KachelY + 1 84502 -0.36858682 -0.80486092 -21.118469 -46.115134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80482769--0.80486092) × R
    3.32299999999952e-05 × 6371000     		dl = 211.708329999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80482769--0.80486092) × R
    3.32299999999952e-05 × 6371000     		dr = 211.708329999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36863476--0.36858682) × cos(-0.80482769) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.693235431059833 × 6371000     		do = 211.731944525775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36863476--0.36858682) × cos(-0.80486092) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.693211481443839 × 6371000     		du = 211.724629696587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80482769)-sin(-0.80486092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693235431059833-0.693211481443839)×R²
    abs(-0.36858682--0.36863476)×2.39496159947228e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39496159947228e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39496159947228e-05×40589641000000     		ar = 44824.6420819926m²