Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57844 / 44363
↖ ↑ ↗
← N 50.157546°
W 21.126709°		 ← 195.68 m → N 50.157546°
W 21.123962°		 →
↑
195.72 m
↓
↑
195.72 m
↓
N 50.155786°
W 21.126709°		 ← 195.69 m →
38 299 m²		 N 50.155786°
W 21.123962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441318511962891 y=0.338466644287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441318511962891 × 217)
    floor (0.441318511962891 × 131072)
    floor (57844.5)     		tx = 57844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338466644287109 × 217)
    floor (0.338466644287109 × 131072)
    floor (44363.5)     		ty = 44363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57844 / 44363 ti = "17/57844/44363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57844/44363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57844 ÷ 217
    57844 ÷ 131072     		x = 0.441314697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44363 ÷ 217
    44363 ÷ 131072     		y = 0.338462829589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441314697265625 × 2 - 1) × π
    -0.11737060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36873063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338462829589844 × 2 - 1) × π
    0.323074340820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.01496797565545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36873063} λ = -0.36873063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01496797565545))-π/2
    2×atan(2.75927503198703)-π/2
    2×1.223105321061-π/2
    2.44621064212201-1.57079632675     		φ = 0.87541432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36873063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.126709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87541432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.157546°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57844 KachelY 44363 -0.36873063 0.87541432 -21.126709 50.157546
    Oben rechts KachelX + 1 57845 KachelY 44363 -0.36868269 0.87541432 -21.123962 50.157546
    Unten links KachelX 57844 KachelY + 1 44364 -0.36873063 0.87538360 -21.126709 50.155786
    Unten rechts KachelX + 1 57845 KachelY + 1 44364 -0.36868269 0.87538360 -21.123962 50.155786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87541432-0.87538360) × R
    3.07199999999286e-05 × 6371000     		dl = 195.717119999545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87541432-0.87538360) × R
    3.07199999999286e-05 × 6371000     		dr = 195.717119999545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36873063--0.36868269) × cos(0.87541432) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.640678794531477 × 6371000     		do = 195.679794922183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36873063--0.36868269) × cos(0.87538360) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.640702381322078 × 6371000     		du = 195.686998935156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87541432)-sin(0.87538360))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640678794531477-0.640702381322078)×R²
    abs(-0.36868269--0.36873063)×2.35867906013265e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35867906013265e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35867906013265e-05×40589641000000     		ar = 38298.5908817644m²