Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57844 / 44361
↖ ↑ ↗
← N 50.161065°
W 21.126709°		 ← 195.67 m → N 50.161065°
W 21.123962°		 →
↑
195.65 m
↓
↑
195.65 m
↓
N 50.159305°
W 21.126709°		 ← 195.67 m →
38 283 m²		 N 50.159305°
W 21.123962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441318511962891 y=0.338451385498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441318511962891 × 217)
    floor (0.441318511962891 × 131072)
    floor (57844.5)     		tx = 57844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338451385498047 × 217)
    floor (0.338451385498047 × 131072)
    floor (44361.5)     		ty = 44361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57844 / 44361 ti = "17/57844/44361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57844/44361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57844 ÷ 217
    57844 ÷ 131072     		x = 0.441314697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44361 ÷ 217
    44361 ÷ 131072     		y = 0.338447570800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441314697265625 × 2 - 1) × π
    -0.11737060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.36873063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338447570800781 × 2 - 1) × π
    0.323104858398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.01506384945469
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36873063} λ = -0.36873063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01506384945469))-π/2
    2×atan(2.75953958684923)-π/2
    2×1.22313603208584-π/2
    2.44627206417169-1.57079632675     		φ = 0.87547574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36873063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.126709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87547574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.161065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57844 KachelY 44361 -0.36873063 0.87547574 -21.126709 50.161065
    Oben rechts KachelX + 1 57845 KachelY 44361 -0.36868269 0.87547574 -21.123962 50.161065
    Unten links KachelX 57844 KachelY + 1 44362 -0.36873063 0.87544503 -21.126709 50.159305
    Unten rechts KachelX + 1 57845 KachelY + 1 44362 -0.36868269 0.87544503 -21.123962 50.159305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87547574-0.87544503) × R
    3.07099999999894e-05 × 6371000     		dl = 195.653409999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87547574-0.87544503) × R
    3.07099999999894e-05 × 6371000     		dr = 195.653409999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36873063--0.36868269) × cos(0.87547574) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.640631634493403 × 6371000     		do = 195.665391032655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36873063--0.36868269) × cos(0.87544503) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.640655214814542 × 6371000     		du = 195.672593069689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87547574)-sin(0.87544503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640631634493403-0.640655214814542)×R²
    abs(-0.36868269--0.36873063)×2.35803211392493e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35803211392493e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35803211392493e-05×40589641000000     		ar = 38283.3055289525m²