Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57843 / 84493
↖ ↑ ↗
← S 46.097995°
W 21.129456°		 ← 211.79 m → S 46.097995°
W 21.126709°		 →
↑
211.77 m
↓
↑
211.77 m
↓
S 46.099900°
W 21.129456°		 ← 211.78 m →
44 851 m²		 S 46.099900°
W 21.126709°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441310882568359 y=0.644634246826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441310882568359 × 217)
    floor (0.441310882568359 × 131072)
    floor (57843.5)     		tx = 57843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644634246826172 × 217)
    floor (0.644634246826172 × 131072)
    floor (84493.5)     		ty = 84493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57843 / 84493 ti = "17/57843/84493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57843/84493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57843 ÷ 217
    57843 ÷ 131072     		x = 0.441307067871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84493 ÷ 217
    84493 ÷ 131072     		y = 0.644630432128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441307067871094 × 2 - 1) × π
    -0.117385864257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.36877857
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644630432128906 × 2 - 1) × π
    -0.289260864257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.908739806097404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36877857} λ = -0.36877857}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.908739806097404))-π/2
    2×atan(0.403031802362795)-π/2
    2×0.383117264350432-π/2
    0.766234528700864-1.57079632675     		φ = -0.80456180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36877857} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.129456°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80456180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.097995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57843 KachelY 84493 -0.36877857 -0.80456180 -21.129456 -46.097995
    Oben rechts KachelX + 1 57844 KachelY 84493 -0.36873063 -0.80456180 -21.126709 -46.097995
    Unten links KachelX 57843 KachelY + 1 84494 -0.36877857 -0.80459504 -21.129456 -46.099900
    Unten rechts KachelX + 1 57844 KachelY + 1 84494 -0.36873063 -0.80459504 -21.126709 -46.099900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80456180--0.80459504) × R
    3.32400000000455e-05 × 6371000     		dl = 211.77204000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80456180--0.80459504) × R
    3.32400000000455e-05 × 6371000     		dr = 211.77204000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36877857--0.36873063) × cos(-0.80456180) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.693427036454152 × 6371000     		do = 211.790465745123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36877857--0.36873063) × cos(-0.80459504) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.693403085758498 × 6371000     		du = 211.783150586179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80456180)-sin(-0.80459504))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.693427036454152-0.693403085758498)×R²
    abs(-0.36873063--0.36877857)×2.39506956541957e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39506956541957e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39506956541957e-05×40589641000000     		ar = 44850.524414487m²