Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57837 / 38579
↖ ↑ ↗
← N 59.284123°
W 21.145935°		 ← 156.01 m → N 59.284123°
W 21.143188°		 →
↑
155.96 m
↓
↑
155.96 m
↓
N 59.282720°
W 21.145935°		 ← 156.01 m →
24 331 m²		 N 59.282720°
W 21.143188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441265106201172 y=0.294338226318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441265106201172 × 217)
    floor (0.441265106201172 × 131072)
    floor (57837.5)     		tx = 57837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294338226318359 × 217)
    floor (0.294338226318359 × 131072)
    floor (38579.5)     		ty = 38579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57837 / 38579 ti = "17/57837/38579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57837/38579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57837 ÷ 217
    57837 ÷ 131072     		x = 0.441261291503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38579 ÷ 217
    38579 ÷ 131072     		y = 0.294334411621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441261291503906 × 2 - 1) × π
    -0.117477416992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.36906619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294334411621094 × 2 - 1) × π
    0.411331176757812 × 3.1415926535     		Φ = 1.29223500305785
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36906619} λ = -0.36906619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29223500305785))-π/2
    2×atan(3.6409149248948)-π/2
    2×1.3027497357805-π/2
    2.605499471561-1.57079632675     		φ = 1.03470314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36906619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.145935°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03470314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.284123°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57837 KachelY 38579 -0.36906619 1.03470314 -21.145935 59.284123
    Oben rechts KachelX + 1 57838 KachelY 38579 -0.36901825 1.03470314 -21.143188 59.284123
    Unten links KachelX 57837 KachelY + 1 38580 -0.36906619 1.03467866 -21.145935 59.282720
    Unten rechts KachelX + 1 57838 KachelY + 1 38580 -0.36901825 1.03467866 -21.143188 59.282720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03470314-1.03467866) × R
    2.44799999999934e-05 × 6371000     		dl = 155.962079999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03470314-1.03467866) × R
    2.44799999999934e-05 × 6371000     		dr = 155.962079999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36906619--0.36901825) × cos(1.03470314) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.510781168902355 × 6371000     		do = 156.005716490145m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36906619--0.36901825) × cos(1.03467866) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.510802214468805 × 6371000     		du = 156.012144347852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03470314)-sin(1.03467866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510781168902355-0.510802214468805)×R²
    abs(-0.36901825--0.36906619)×2.10455664492182e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10455664492182e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10455664492182e-05×40589641000000     		ar = 24331.4772878622m²