Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57834 / 38590
↖ ↑ ↗
← N 59.268688°
W 21.154175°		 ← 156.08 m → N 59.268688°
W 21.151428°		 →
↑
156.09 m
↓
↑
156.09 m
↓
N 59.267284°
W 21.154175°		 ← 156.08 m →
24 362 m²		 N 59.267284°
W 21.151428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38590 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441242218017578 y=0.294422149658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441242218017578 × 217)
    floor (0.441242218017578 × 131072)
    floor (57834.5)     		tx = 57834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294422149658203 × 217)
    floor (0.294422149658203 × 131072)
    floor (38590.5)     		ty = 38590
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57834 / 38590 ti = "17/57834/38590"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57834/38590.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57834 ÷ 217
    57834 ÷ 131072     		x = 0.441238403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38590 ÷ 217
    38590 ÷ 131072     		y = 0.294418334960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441238403320312 × 2 - 1) × π
    -0.117523193359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36921000
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294418334960938 × 2 - 1) × π
    0.411163330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.29170769716203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36921000} λ = -0.36921000}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29170769716203))-π/2
    2×atan(3.6389955550807)-π/2
    2×1.3026150362929-π/2
    2.6052300725858-1.57079632675     		φ = 1.03443375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36921000} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.154175°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03443375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.268688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57834 KachelY 38590 -0.36921000 1.03443375 -21.154175 59.268688
    Oben rechts KachelX + 1 57835 KachelY 38590 -0.36916206 1.03443375 -21.151428 59.268688
    Unten links KachelX 57834 KachelY + 1 38591 -0.36921000 1.03440925 -21.154175 59.267284
    Unten rechts KachelX + 1 57835 KachelY + 1 38591 -0.36916206 1.03440925 -21.151428 59.267284
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03443375-1.03440925) × R
    2.45000000000939e-05 × 6371000     		dl = 156.089500000598m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03443375-1.03440925) × R
    2.45000000000939e-05 × 6371000     		dr = 156.089500000598m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36921000--0.36916206) × cos(1.03443375) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.511012747848287 × 6371000     		do = 156.076446660894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36921000--0.36916206) × cos(1.03440925) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.511033807236684 × 6371000     		du = 156.082878740179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03443375)-sin(1.03440925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511012747848287-0.511033807236684)×R²
    abs(-0.36916206--0.36921000)×2.10593883968047e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.10593883968047e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.10593883968047e-05×40589641000000     		ar = 24362.3965124821m²