Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57828 / 44372
↖ ↑ ↗
← N 50.141706°
W 21.170654°		 ← 195.70 m → N 50.141706°
W 21.167908°		 →
↑
195.72 m
↓
↑
195.72 m
↓
N 50.139946°
W 21.170654°		 ← 195.71 m →
38 303 m²		 N 50.139946°
W 21.167908°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441196441650391 y=0.338535308837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441196441650391 × 217)
    floor (0.441196441650391 × 131072)
    floor (57828.5)     		tx = 57828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338535308837891 × 217)
    floor (0.338535308837891 × 131072)
    floor (44372.5)     		ty = 44372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57828 / 44372 ti = "17/57828/44372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57828/44372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57828 ÷ 217
    57828 ÷ 131072     		x = 0.441192626953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44372 ÷ 217
    44372 ÷ 131072     		y = 0.338531494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441192626953125 × 2 - 1) × π
    -0.11761474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.36949762
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338531494140625 × 2 - 1) × π
    0.32293701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.01453654355887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36949762} λ = -0.36949762}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01453654355887))-π/2
    2×atan(2.75808484893499)-π/2
    2×1.22296709347102-π/2
    2.44593418694203-1.57079632675     		φ = 0.87513786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36949762} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.170654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87513786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.141706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57828 KachelY 44372 -0.36949762 0.87513786 -21.170654 50.141706
    Oben rechts KachelX + 1 57829 KachelY 44372 -0.36944969 0.87513786 -21.167908 50.141706
    Unten links KachelX 57828 KachelY + 1 44373 -0.36949762 0.87510714 -21.170654 50.139946
    Unten rechts KachelX + 1 57829 KachelY + 1 44373 -0.36944969 0.87510714 -21.167908 50.139946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87513786-0.87510714) × R
    3.07200000000396e-05 × 6371000     		dl = 195.717120000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87513786-0.87510714) × R
    3.07200000000396e-05 × 6371000     		dr = 195.717120000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36949762--0.36944969) × cos(0.87513786) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.640891038525248 × 6371000     		do = 195.703788532998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36949762--0.36944969) × cos(0.87510714) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.640914619873658 × 6371000     		du = 195.710989381418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87513786)-sin(0.87510714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.640891038525248-0.640914619873658)×R²
    abs(-0.36944969--0.36949762)×2.35813484101843e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35813484101843e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35813484101843e-05×40589641000000     		ar = 38303.2865323662m²