Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57823 / 44381
↖ ↑ ↗
← N 50.125861°
W 21.184387°		 ← 195.81 m → N 50.125861°
W 21.181641°		 →
↑
195.78 m
↓
↑
195.78 m
↓
N 50.124100°
W 21.184387°		 ← 195.82 m →
38 336 m²		 N 50.124100°
W 21.181641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44381 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441158294677734 y=0.338603973388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441158294677734 × 217)
    floor (0.441158294677734 × 131072)
    floor (57823.5)     		tx = 57823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338603973388672 × 217)
    floor (0.338603973388672 × 131072)
    floor (44381.5)     		ty = 44381
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57823 / 44381 ti = "17/57823/44381"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57823/44381.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57823 ÷ 217
    57823 ÷ 131072     		x = 0.441154479980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44381 ÷ 217
    44381 ÷ 131072     		y = 0.338600158691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441154479980469 × 2 - 1) × π
    -0.117691040039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.36973731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338600158691406 × 2 - 1) × π
    0.322799682617188 × 3.1415926535     		Φ = 1.01410511146229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36973731} λ = -0.36973731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01410511146229))-π/2
    2×atan(2.75689517925536)-π/2
    2×1.22282882009509-π/2
    2.44565764019018-1.57079632675     		φ = 0.87486131
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36973731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.184387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87486131 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.125861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57823 KachelY 44381 -0.36973731 0.87486131 -21.184387 50.125861
    Oben rechts KachelX + 1 57824 KachelY 44381 -0.36968937 0.87486131 -21.181641 50.125861
    Unten links KachelX 57823 KachelY + 1 44382 -0.36973731 0.87483058 -21.184387 50.124100
    Unten rechts KachelX + 1 57824 KachelY + 1 44382 -0.36968937 0.87483058 -21.181641 50.124100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87486131-0.87483058) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dl = 195.780829999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87486131-0.87483058) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dr = 195.780829999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36973731--0.36968937) × cos(0.87486131) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.641103302606549 × 6371000     		do = 195.809450614921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36973731--0.36968937) × cos(0.87483058) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.641126886183542 × 6371000     		du = 195.816653646376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87486131)-sin(0.87483058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641103302606549-0.641126886183542)×R²
    abs(-0.36968937--0.36973731)×2.35835769931692e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35835769931692e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35835769931692e-05×40589641000000     		ar = 38336.441873895m²