Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57823 / 38459
↖ ↑ ↗
← N 59.452056°
W 21.184387°		 ← 155.24 m → N 59.452056°
W 21.181641°		 →
↑
155.26 m
↓
↑
155.26 m
↓
N 59.450659°
W 21.184387°		 ← 155.24 m →
24 103 m²		 N 59.450659°
W 21.181641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441158294677734 y=0.293422698974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441158294677734 × 217)
    floor (0.441158294677734 × 131072)
    floor (57823.5)     		tx = 57823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293422698974609 × 217)
    floor (0.293422698974609 × 131072)
    floor (38459.5)     		ty = 38459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57823 / 38459 ti = "17/57823/38459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57823/38459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57823 ÷ 217
    57823 ÷ 131072     		x = 0.441154479980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38459 ÷ 217
    38459 ÷ 131072     		y = 0.293418884277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441154479980469 × 2 - 1) × π
    -0.117691040039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.36973731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293418884277344 × 2 - 1) × π
    0.413162231445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.29798743101226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36973731} λ = -0.36973731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29798743101226))-π/2
    2×atan(3.66191938107833)-π/2
    2×1.30421522288542-π/2
    2.60843044577085-1.57079632675     		φ = 1.03763412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36973731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.184387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03763412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.452056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57823 KachelY 38459 -0.36973731 1.03763412 -21.184387 59.452056
    Oben rechts KachelX + 1 57824 KachelY 38459 -0.36968937 1.03763412 -21.181641 59.452056
    Unten links KachelX 57823 KachelY + 1 38460 -0.36973731 1.03760975 -21.184387 59.450659
    Unten rechts KachelX + 1 57824 KachelY + 1 38460 -0.36968937 1.03760975 -21.181641 59.450659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03763412-1.03760975) × R
    2.43699999999958e-05 × 6371000     		dl = 155.261269999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03763412-1.03760975) × R
    2.43699999999958e-05 × 6371000     		dr = 155.261269999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36973731--0.36968937) × cos(1.03763412) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.508259183487516 × 6371000     		do = 155.235437228368m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36973731--0.36968937) × cos(1.03760975) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.508280170881926 × 6371000     		du = 155.241847318837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03763412)-sin(1.03760975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508259183487516-0.508280170881926)×R²
    abs(-0.36968937--0.36973731)×2.09873944106986e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.09873944106986e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.09873944106986e-05×40589641000000     		ar = 24102.5487536877m²