Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57822 / 38458
↖ ↑ ↗
← N 59.453451°
W 21.187134°		 ← 155.20 m → N 59.453451°
W 21.184387°		 →
↑
155.20 m
↓
↑
155.20 m
↓
N 59.452056°
W 21.187134°		 ← 155.20 m →
24 087 m²		 N 59.452056°
W 21.184387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441150665283203 y=0.293415069580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441150665283203 × 217)
    floor (0.441150665283203 × 131072)
    floor (57822.5)     		tx = 57822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293415069580078 × 217)
    floor (0.293415069580078 × 131072)
    floor (38458.5)     		ty = 38458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57822 / 38458 ti = "17/57822/38458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57822/38458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57822 ÷ 217
    57822 ÷ 131072     		x = 0.441146850585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38458 ÷ 217
    38458 ÷ 131072     		y = 0.293411254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441146850585938 × 2 - 1) × π
    -0.117706298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.36978524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293411254882812 × 2 - 1) × π
    0.413177490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29803536791188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36978524} λ = -0.36978524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29803536791188))-π/2
    2×atan(3.66209492634763)-π/2
    2×1.30422740481872-π/2
    2.60845480963743-1.57079632675     		φ = 1.03765848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36978524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.187134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03765848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.453451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57822 KachelY 38458 -0.36978524 1.03765848 -21.187134 59.453451
    Oben rechts KachelX + 1 57823 KachelY 38458 -0.36973731 1.03765848 -21.184387 59.453451
    Unten links KachelX 57822 KachelY + 1 38459 -0.36978524 1.03763412 -21.187134 59.452056
    Unten rechts KachelX + 1 57823 KachelY + 1 38459 -0.36973731 1.03763412 -21.184387 59.452056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03765848-1.03763412) × R
    2.43599999998345e-05 × 6371000     		dl = 155.197559998946m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03765848-1.03763412) × R
    2.43599999998345e-05 × 6371000     		dr = 155.197559998946m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36978524--0.36973731) × cos(1.03765848) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.508238204403417 × 6371000     		do = 155.196649820277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36978524--0.36973731) × cos(1.03763412) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.508259183487516 × 6371000     		du = 155.203056035985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03765848)-sin(1.03763412))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508238204403417-0.508259183487516)×R²
    abs(-0.36973731--0.36978524)×2.09790840987045e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.09790840987045e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.09790840987045e-05×40589641000000     		ar = 24086.638487771m²