Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57821 / 44378
↖ ↑ ↗
← N 50.131143°
W 21.189880°		 ← 195.79 m → N 50.131143°
W 21.187134°		 →
↑
195.78 m
↓
↑
195.78 m
↓
N 50.129383°
W 21.189880°		 ← 195.80 m →
38 332 m²		 N 50.129383°
W 21.187134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441143035888672 y=0.338581085205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441143035888672 × 217)
    floor (0.441143035888672 × 131072)
    floor (57821.5)     		tx = 57821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338581085205078 × 217)
    floor (0.338581085205078 × 131072)
    floor (44378.5)     		ty = 44378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57821 / 44378 ti = "17/57821/44378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57821/44378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57821 ÷ 217
    57821 ÷ 131072     		x = 0.441139221191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44378 ÷ 217
    44378 ÷ 131072     		y = 0.338577270507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441139221191406 × 2 - 1) × π
    -0.117721557617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.36983318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338577270507812 × 2 - 1) × π
    0.322845458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01424892216115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.36983318} λ = -0.36983318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01424892216115))-π/2
    2×atan(2.75729167878752)-π/2
    2×1.22287491630801-π/2
    2.44574983261602-1.57079632675     		φ = 0.87495351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.36983318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.189880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87495351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.131143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57821 KachelY 44378 -0.36983318 0.87495351 -21.189880 50.131143
    Oben rechts KachelX + 1 57822 KachelY 44378 -0.36978524 0.87495351 -21.187134 50.131143
    Unten links KachelX 57821 KachelY + 1 44379 -0.36983318 0.87492278 -21.189880 50.129383
    Unten rechts KachelX + 1 57822 KachelY + 1 44379 -0.36978524 0.87492278 -21.187134 50.129383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87495351-0.87492278) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dl = 195.780829999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87495351-0.87492278) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dr = 195.780829999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.36983318--0.36978524) × cos(0.87495351) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.641032540568031 × 6371000     		do = 195.787838066943m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.36983318--0.36978524) × cos(0.87492278) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.6410561259614 × 6371000     		du = 195.795041653165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87495351)-sin(0.87492278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641032540568031-0.6410561259614)×R²
    abs(-0.36978524--0.36983318)×2.35853933682195e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35853933682195e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35853933682195e-05×40589641000000     		ar = 38332.2106057321m²