Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57815 / 84549
↖ ↑ ↗
← S 46.204547°
W 21.206360°		 ← 211.34 m → S 46.204547°
W 21.203614°		 →
↑
211.39 m
↓
↑
211.39 m
↓
S 46.206448°
W 21.206360°		 ← 211.33 m →
44 674 m²		 S 46.206448°
W 21.203614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441097259521484 y=0.645061492919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441097259521484 × 217)
    floor (0.441097259521484 × 131072)
    floor (57815.5)     		tx = 57815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645061492919922 × 217)
    floor (0.645061492919922 × 131072)
    floor (84549.5)     		ty = 84549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57815 / 84549 ti = "17/57815/84549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57815/84549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57815 ÷ 217
    57815 ÷ 131072     		x = 0.441093444824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84549 ÷ 217
    84549 ÷ 131072     		y = 0.645057678222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441093444824219 × 2 - 1) × π
    -0.117813110351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.37012080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645057678222656 × 2 - 1) × π
    -0.290115356445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.911424272476128
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37012080} λ = -0.37012080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.911424272476128))-π/2
    2×atan(0.401951327937287)-π/2
    2×0.38218742365543-π/2
    0.764374847310861-1.57079632675     		φ = -0.80642148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37012080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.206360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80642148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.204547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57815 KachelY 84549 -0.37012080 -0.80642148 -21.206360 -46.204547
    Oben rechts KachelX + 1 57816 KachelY 84549 -0.37007287 -0.80642148 -21.203614 -46.204547
    Unten links KachelX 57815 KachelY + 1 84550 -0.37012080 -0.80645466 -21.206360 -46.206448
    Unten rechts KachelX + 1 57816 KachelY + 1 84550 -0.37007287 -0.80645466 -21.203614 -46.206448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80642148--0.80645466) × R
    3.3179999999966e-05 × 6371000     		dl = 211.389779999783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80642148--0.80645466) × R
    3.3179999999966e-05 × 6371000     		dr = 211.389779999783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37012080--0.37007287) × cos(-0.80642148) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.692085888772471 × 6371000     		do = 211.336751930045m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37012080--0.37007287) × cos(-0.80645466) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.692061938564564 × 6371000     		du = 211.32943844594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80642148)-sin(-0.80645466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692085888772471-0.692061938564564)×R²
    abs(-0.37007287--0.37012080)×2.39502079065756e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39502079065756e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39502079065756e-05×40589641000000     		ar = 44673.6565026168m²