Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57815 / 81505
↖ ↑ ↗
← S 40.113789°
W 21.206360°		 ← 233.53 m → S 40.113789°
W 21.203614°		 →
↑
233.56 m
↓
↑
233.56 m
↓
S 40.115890°
W 21.206360°		 ← 233.52 m →
54 543 m²		 S 40.115890°
W 21.203614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441097259521484 y=0.621837615966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441097259521484 × 217)
    floor (0.441097259521484 × 131072)
    floor (57815.5)     		tx = 57815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621837615966797 × 217)
    floor (0.621837615966797 × 131072)
    floor (81505.5)     		ty = 81505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57815 / 81505 ti = "17/57815/81505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57815/81505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57815 ÷ 217
    57815 ÷ 131072     		x = 0.441093444824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81505 ÷ 217
    81505 ÷ 131072     		y = 0.621833801269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441093444824219 × 2 - 1) × π
    -0.117813110351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.37012080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621833801269531 × 2 - 1) × π
    -0.243667602539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.765504350032677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37012080} λ = -0.37012080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.765504350032677))-π/2
    2×atan(0.465099298964325)-π/2
    2×0.435339314983864-π/2
    0.870678629967727-1.57079632675     		φ = -0.70011770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37012080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.206360°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70011770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.113789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57815 KachelY 81505 -0.37012080 -0.70011770 -21.206360 -40.113789
    Oben rechts KachelX + 1 57816 KachelY 81505 -0.37007287 -0.70011770 -21.203614 -40.113789
    Unten links KachelX 57815 KachelY + 1 81506 -0.37012080 -0.70015436 -21.206360 -40.115890
    Unten rechts KachelX + 1 57816 KachelY + 1 81506 -0.37007287 -0.70015436 -21.203614 -40.115890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70011770--0.70015436) × R
    3.66600000000217e-05 × 6371000     		dl = 233.560860000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70011770--0.70015436) × R
    3.66600000000217e-05 × 6371000     		dr = 233.560860000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37012080--0.37007287) × cos(-0.70011770) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.764766357565085 × 6371000     		do = 233.530607421923m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37012080--0.37007287) × cos(-0.70015436) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.76474273673073 × 6371000     		du = 233.523394515994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70011770)-sin(-0.70015436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764766357565085-0.76474273673073)×R²
    abs(-0.37007287--0.37012080)×2.36208343551425e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36208343551425e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36208343551425e-05×40589641000000     		ar = 54542.7671857511m²