Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57811 / 38455
↖ ↑ ↗
← N 59.457639°
W 21.217346°		 ← 155.21 m → N 59.457639°
W 21.214599°		 →
↑
155.20 m
↓
↑
155.20 m
↓
N 59.456244°
W 21.217346°		 ← 155.22 m →
24 089 m²		 N 59.456244°
W 21.214599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441066741943359 y=0.293392181396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441066741943359 × 217)
    floor (0.441066741943359 × 131072)
    floor (57811.5)     		tx = 57811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293392181396484 × 217)
    floor (0.293392181396484 × 131072)
    floor (38455.5)     		ty = 38455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57811 / 38455 ti = "17/57811/38455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57811/38455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57811 ÷ 217
    57811 ÷ 131072     		x = 0.441062927246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38455 ÷ 217
    38455 ÷ 131072     		y = 0.293388366699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441062927246094 × 2 - 1) × π
    -0.117874145507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.37031255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293388366699219 × 2 - 1) × π
    0.413223266601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.29817917861074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37031255} λ = -0.37031255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29817917861074))-π/2
    2×atan(3.66262161264894)-π/2
    2×1.30426394760119-π/2
    2.60852789520238-1.57079632675     		φ = 1.03773157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37031255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.217346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03773157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.457639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57811 KachelY 38455 -0.37031255 1.03773157 -21.217346 59.457639
    Oben rechts KachelX + 1 57812 KachelY 38455 -0.37026461 1.03773157 -21.214599 59.457639
    Unten links KachelX 57811 KachelY + 1 38456 -0.37031255 1.03770721 -21.217346 59.456244
    Unten rechts KachelX + 1 57812 KachelY + 1 38456 -0.37026461 1.03770721 -21.214599 59.456244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03773157-1.03770721) × R
    2.43600000000566e-05 × 6371000     		dl = 155.19756000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03773157-1.03770721) × R
    2.43600000000566e-05 × 6371000     		dr = 155.19756000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37031255--0.37026461) × cos(1.03773157) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.508175256729073 × 6371000     		do = 155.209803836245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37031255--0.37026461) × cos(1.03770721) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.508196236718038 × 6371000     		du = 155.2162116649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03773157)-sin(1.03770721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508175256729073-0.508196236718038)×R²
    abs(-0.37026461--0.37031255)×2.09799889656637e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09799889656637e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09799889656637e-05×40589641000000     		ar = 24088.6800843816m²