Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57805 / 38435
↖ ↑ ↗
← N 59.485542°
W 21.233826°		 ← 155.08 m → N 59.485542°
W 21.231079°		 →
↑
155.07 m
↓
↑
155.07 m
↓
N 59.484148°
W 21.233826°		 ← 155.09 m →
24 049 m²		 N 59.484148°
W 21.231079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.441020965576172 y=0.293239593505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.441020965576172 × 217)
    floor (0.441020965576172 × 131072)
    floor (57805.5)     		tx = 57805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293239593505859 × 217)
    floor (0.293239593505859 × 131072)
    floor (38435.5)     		ty = 38435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57805 / 38435 ti = "17/57805/38435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57805/38435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57805 ÷ 217
    57805 ÷ 131072     		x = 0.441017150878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38435 ÷ 217
    38435 ÷ 131072     		y = 0.293235778808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.441017150878906 × 2 - 1) × π
    -0.117965698242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.37060017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293235778808594 × 2 - 1) × π
    0.413528442382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.29913791660314
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37060017} λ = -0.37060017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29913791660314))-π/2
    2×atan(3.66613479098044)-π/2
    2×1.30450745050889-π/2
    2.60901490101779-1.57079632675     		φ = 1.03821857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37060017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.233826°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03821857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.485542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57805 KachelY 38435 -0.37060017 1.03821857 -21.233826 59.485542
    Oben rechts KachelX + 1 57806 KachelY 38435 -0.37055223 1.03821857 -21.231079 59.485542
    Unten links KachelX 57805 KachelY + 1 38436 -0.37060017 1.03819423 -21.233826 59.484148
    Unten rechts KachelX + 1 57806 KachelY + 1 38436 -0.37055223 1.03819423 -21.231079 59.484148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03821857-1.03819423) × R
    2.43399999999561e-05 × 6371000     		dl = 155.07013999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03821857-1.03819423) × R
    2.43399999999561e-05 × 6371000     		dr = 155.07013999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37060017--0.37055223) × cos(1.03821857) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.507755765939767 × 6371000     		do = 155.081680551498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37060017--0.37055223) × cos(1.03819423) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.507776734725241 × 6371000     		du = 155.088084958318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03821857)-sin(1.03819423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507755765939767-0.507776734725241)×R²
    abs(-0.37055223--0.37060017)×2.09687854735296e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.09687854735296e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.09687854735296e-05×40589641000000     		ar = 24049.0344817679m²