Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57802 / 81468
↖ ↑ ↗
← S 40.036026°
W 21.242065°		 ← 233.85 m → S 40.036026°
W 21.239319°		 →
↑
233.82 m
↓
↑
233.82 m
↓
S 40.038129°
W 21.242065°		 ← 233.84 m →
54 676 m²		 S 40.038129°
W 21.239319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57802 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440998077392578 y=0.621555328369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440998077392578 × 217)
    floor (0.440998077392578 × 131072)
    floor (57802.5)     		tx = 57802
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621555328369141 × 217)
    floor (0.621555328369141 × 131072)
    floor (81468.5)     		ty = 81468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57802 / 81468 ti = "17/57802/81468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57802/81468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57802 ÷ 217
    57802 ÷ 131072     		x = 0.440994262695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81468 ÷ 217
    81468 ÷ 131072     		y = 0.621551513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440994262695312 × 2 - 1) × π
    -0.118011474609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37074398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621551513671875 × 2 - 1) × π
    -0.24310302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.763730684746735
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37074398} λ = -0.37074398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.763730684746735))-π/2
    2×atan(0.465924961453408)-π/2
    2×0.436017922225298-π/2
    0.872035844450596-1.57079632675     		φ = -0.69876048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37074398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.242065°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69876048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.036026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57802 KachelY 81468 -0.37074398 -0.69876048 -21.242065 -40.036026
    Oben rechts KachelX + 1 57803 KachelY 81468 -0.37069604 -0.69876048 -21.239319 -40.036026
    Unten links KachelX 57802 KachelY + 1 81469 -0.37074398 -0.69879718 -21.242065 -40.038129
    Unten rechts KachelX + 1 57803 KachelY + 1 81469 -0.37069604 -0.69879718 -21.239319 -40.038129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69876048--0.69879718) × R
    3.67000000000006e-05 × 6371000     		dl = 233.815700000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69876048--0.69879718) × R
    3.67000000000006e-05 × 6371000     		dr = 233.815700000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37074398--0.37069604) × cos(-0.69876048) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.765640120232245 × 6371000     		do = 233.846200295469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37074398--0.37069604) × cos(-0.69879718) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.765616511738631 × 6371000     		du = 233.838989653837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69876048)-sin(-0.69879718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765640120232245-0.765616511738631)×R²
    abs(-0.37069604--0.37074398)×2.36084936143799e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36084936143799e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36084936143799e-05×40589641000000     		ar = 54676.0700399715m²