Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57799 / 38475
↖ ↑ ↗
← N 59.429713°
W 21.250305°		 ← 155.31 m → N 59.429713°
W 21.247559°		 →
↑
155.32 m
↓
↑
155.32 m
↓
N 59.428316°
W 21.250305°		 ← 155.31 m →
24 123 m²		 N 59.428316°
W 21.247559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57799 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440975189208984 y=0.293544769287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440975189208984 × 217)
    floor (0.440975189208984 × 131072)
    floor (57799.5)     		tx = 57799
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293544769287109 × 217)
    floor (0.293544769287109 × 131072)
    floor (38475.5)     		ty = 38475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57799 / 38475 ti = "17/57799/38475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57799/38475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57799 ÷ 217
    57799 ÷ 131072     		x = 0.440971374511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38475 ÷ 217
    38475 ÷ 131072     		y = 0.293540954589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440971374511719 × 2 - 1) × π
    -0.118057250976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.37088779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293540954589844 × 2 - 1) × π
    0.412918090820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.29722044061834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37088779} λ = -0.37088779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29722044061834))-π/2
    2×atan(3.65911180092087)-π/2
    2×1.30402024354607-π/2
    2.60804048709213-1.57079632675     		φ = 1.03724416
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37088779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.250305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03724416 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.429713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57799 KachelY 38475 -0.37088779 1.03724416 -21.250305 59.429713
    Oben rechts KachelX + 1 57800 KachelY 38475 -0.37083986 1.03724416 -21.247559 59.429713
    Unten links KachelX 57799 KachelY + 1 38476 -0.37088779 1.03721978 -21.250305 59.428316
    Unten rechts KachelX + 1 57800 KachelY + 1 38476 -0.37083986 1.03721978 -21.247559 59.428316
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03724416-1.03721978) × R
    2.4379999999935e-05 × 6371000     		dl = 155.324979999586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03724416-1.03721978) × R
    2.4379999999935e-05 × 6371000     		dr = 155.324979999586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37088779--0.37083986) × cos(1.03724416) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.508594980007422 × 6371000     		do = 155.305595542791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37088779--0.37083986) × cos(1.03721978) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.50861597117992 × 6371000     		du = 155.312005449837m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03724416)-sin(1.03721978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.508594980007422-0.50861597117992)×R²
    abs(-0.37083986--0.37088779)×2.09911724979861e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.09911724979861e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.09911724979861e-05×40589641000000     		ar = 24123.3363321098m²