Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57796 / 81495
↖ ↑ ↗
← S 40.092781°
W 21.258545°		 ← 233.60 m → S 40.092781°
W 21.255799°		 →
↑
233.69 m
↓
↑
233.69 m
↓
S 40.094882°
W 21.258545°		 ← 233.60 m →
54 589 m²		 S 40.094882°
W 21.255799°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57796 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440952301025391 y=0.621761322021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440952301025391 × 217)
    floor (0.440952301025391 × 131072)
    floor (57796.5)     		tx = 57796
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621761322021484 × 217)
    floor (0.621761322021484 × 131072)
    floor (81495.5)     		ty = 81495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57796 / 81495 ti = "17/57796/81495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57796/81495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57796 ÷ 217
    57796 ÷ 131072     		x = 0.440948486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81495 ÷ 217
    81495 ÷ 131072     		y = 0.621757507324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440948486328125 × 2 - 1) × π
    -0.11810302734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37103160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621757507324219 × 2 - 1) × π
    -0.243515014648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.765024981036476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37103160} λ = -0.37103160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.765024981036476))-π/2
    2×atan(0.465322306595605)-π/2
    2×0.435522645931269-π/2
    0.871045291862537-1.57079632675     		φ = -0.69975103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37103160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.258545°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69975103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.092781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57796 KachelY 81495 -0.37103160 -0.69975103 -21.258545 -40.092781
    Oben rechts KachelX + 1 57797 KachelY 81495 -0.37098367 -0.69975103 -21.255799 -40.092781
    Unten links KachelX 57796 KachelY + 1 81496 -0.37103160 -0.69978771 -21.258545 -40.094882
    Unten rechts KachelX + 1 57797 KachelY + 1 81496 -0.37098367 -0.69978771 -21.255799 -40.094882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69975103--0.69978771) × R
    3.66799999999001e-05 × 6371000     		dl = 233.688279999364m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69975103--0.69978771) × R
    3.66799999999001e-05 × 6371000     		dr = 233.688279999364m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37103160--0.37098367) × cos(-0.69975103) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.765002554455646 × 6371000     		do = 233.602732983905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37103160--0.37098367) × cos(-0.69978771) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.764978931021697 × 6371000     		du = 233.595519284158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69975103)-sin(-0.69978771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.765002554455646-0.764978931021697)×R²
    abs(-0.37098367--0.37103160)×2.3623433949238e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3623433949238e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3623433949238e-05×40589641000000     		ar = 54589.3780017649m²