Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57794 / 87378
↖ ↑ ↗
← S 51.320314°
W 21.264038°		 ← 190.88 m → S 51.320314°
W 21.261292°		 →
↑
190.88 m
↓
↑
190.88 m
↓
S 51.322030°
W 21.264038°		 ← 190.87 m →
36 434 m²		 S 51.322030°
W 21.261292°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57794 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440937042236328 y=0.666645050048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440937042236328 × 217)
    floor (0.440937042236328 × 131072)
    floor (57794.5)     		tx = 57794
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666645050048828 × 217)
    floor (0.666645050048828 × 131072)
    floor (87378.5)     		ty = 87378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57794 / 87378 ti = "17/57794/87378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57794/87378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57794 ÷ 217
    57794 ÷ 131072     		x = 0.440933227539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87378 ÷ 217
    87378 ÷ 131072     		y = 0.666641235351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440933227539062 × 2 - 1) × π
    -0.118133544921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37112748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666641235351562 × 2 - 1) × π
    -0.333282470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04703776150127
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37112748} λ = -0.37112748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04703776150127))-π/2
    2×atan(0.350975885027698)-π/2
    2×0.33754394003291-π/2
    0.67508788006582-1.57079632675     		φ = -0.89570845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37112748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.264038°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89570845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.320314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57794 KachelY 87378 -0.37112748 -0.89570845 -21.264038 -51.320314
    Oben rechts KachelX + 1 57795 KachelY 87378 -0.37107954 -0.89570845 -21.261292 -51.320314
    Unten links KachelX 57794 KachelY + 1 87379 -0.37112748 -0.89573841 -21.264038 -51.322030
    Unten rechts KachelX + 1 57795 KachelY + 1 87379 -0.37107954 -0.89573841 -21.261292 -51.322030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89570845--0.89573841) × R
    2.99599999999955e-05 × 6371000     		dl = 190.875159999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89570845--0.89573841) × R
    2.99599999999955e-05 × 6371000     		dr = 190.875159999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37112748--0.37107954) × cos(-0.89570845) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.624965920339399 × 6371000     		do = 190.880678694538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37112748--0.37107954) × cos(-0.89573841) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.624942531723974 × 6371000     		du = 190.873535209364m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89570845)-sin(-0.89573841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624965920339399-0.624942531723974)×R²
    abs(-0.37107954--0.37112748)×2.33886154246132e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33886154246132e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33886154246132e-05×40589641000000     		ar = 36433.698332548m²