Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57792 / 44739
↖ ↑ ↗
← N 49.491323°
W 21.269531°		 ← 198.39 m → N 49.491323°
W 21.266784°		 →
↑
198.39 m
↓
↑
198.39 m
↓
N 49.489538°
W 21.269531°		 ← 198.40 m →
39 361 m²		 N 49.489538°
W 21.266784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57792 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440921783447266 y=0.341335296630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440921783447266 × 217)
    floor (0.440921783447266 × 131072)
    floor (57792.5)     		tx = 57792
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341335296630859 × 217)
    floor (0.341335296630859 × 131072)
    floor (44739.5)     		ty = 44739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57792 / 44739 ti = "17/57792/44739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57792/44739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57792 ÷ 217
    57792 ÷ 131072     		x = 0.44091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44739 ÷ 217
    44739 ÷ 131072     		y = 0.341331481933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44091796875 × 2 - 1) × π
    -0.1181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37122335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341331481933594 × 2 - 1) × π
    0.317337036132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.996943701398308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37122335} λ = -0.37122335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.996943701398308))-π/2
    2×atan(2.70998663026613)-π/2
    2×1.21729142851868-π/2
    2.43458285703735-1.57079632675     		φ = 0.86378653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37122335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.269531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86378653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.491323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57792 KachelY 44739 -0.37122335 0.86378653 -21.269531 49.491323
    Oben rechts KachelX + 1 57793 KachelY 44739 -0.37117541 0.86378653 -21.266784 49.491323
    Unten links KachelX 57792 KachelY + 1 44740 -0.37122335 0.86375539 -21.269531 49.489538
    Unten rechts KachelX + 1 57793 KachelY + 1 44740 -0.37117541 0.86375539 -21.266784 49.489538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86378653-0.86375539) × R
    3.11400000000406e-05 × 6371000     		dl = 198.392940000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86378653-0.86375539) × R
    3.11400000000406e-05 × 6371000     		dr = 198.392940000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37122335--0.37117541) × cos(0.86378653) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.649563204165191 × 6371000     		do = 198.393322309024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37122335--0.37117541) × cos(0.86375539) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.649586879828853 × 6371000     		du = 198.400553466118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86378653)-sin(0.86375539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649563204165191-0.649586879828853)×R²
    abs(-0.37117541--0.37122335)×2.3675663661793e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3675663661793e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3675663661793e-05×40589641000000     		ar = 39360.5517977151m²