Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57791 / 87371
↖ ↑ ↗
← S 51.308297°
W 21.272278°		 ← 190.93 m → S 51.308297°
W 21.269531°		 →
↑
190.88 m
↓
↑
190.88 m
↓
S 51.310013°
W 21.272278°		 ← 190.92 m →
36 443 m²		 S 51.310013°
W 21.269531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87371 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440914154052734 y=0.666591644287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440914154052734 × 217)
    floor (0.440914154052734 × 131072)
    floor (57791.5)     		tx = 57791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666591644287109 × 217)
    floor (0.666591644287109 × 131072)
    floor (87371.5)     		ty = 87371
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57791 / 87371 ti = "17/57791/87371"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57791/87371.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57791 ÷ 217
    57791 ÷ 131072     		x = 0.440910339355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87371 ÷ 217
    87371 ÷ 131072     		y = 0.666587829589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440910339355469 × 2 - 1) × π
    -0.118179321289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.37127129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666587829589844 × 2 - 1) × π
    -0.333175659179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.04670220320393
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37127129} λ = -0.37127129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04670220320393))-π/2
    2×atan(0.351093677660127)-π/2
    2×0.337648810017602-π/2
    0.675297620035205-1.57079632675     		φ = -0.89549871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37127129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.272278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89549871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.308297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57791 KachelY 87371 -0.37127129 -0.89549871 -21.272278 -51.308297
    Oben rechts KachelX + 1 57792 KachelY 87371 -0.37122335 -0.89549871 -21.269531 -51.308297
    Unten links KachelX 57791 KachelY + 1 87372 -0.37127129 -0.89552867 -21.272278 -51.310013
    Unten rechts KachelX + 1 57792 KachelY + 1 87372 -0.37122335 -0.89552867 -21.269531 -51.310013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89549871--0.89552867) × R
    2.99599999999955e-05 × 6371000     		dl = 190.875159999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89549871--0.89552867) × R
    2.99599999999955e-05 × 6371000     		dr = 190.875159999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37127129--0.37122335) × cos(-0.89549871) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.625129640549443 × 6371000     		do = 190.930683060622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37127129--0.37122335) × cos(-0.89552867) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.625106255861627 × 6371000     		du = 190.923540775041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89549871)-sin(-0.89552867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625129640549443-0.625106255861627)×R²
    abs(-0.37122335--0.37127129)×2.33846878163746e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33846878163746e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33846878163746e-05×40589641000000     		ar = 36443.2430383815m²