Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57791 / 85947
↖ ↑ ↗
← S 48.797818°
W 21.272278°		 ← 201.19 m → S 48.797818°
W 21.269531°		 →
↑
201.20 m
↓
↑
201.20 m
↓
S 48.799627°
W 21.272278°		 ← 201.18 m →
40 478 m²		 S 48.799627°
W 21.269531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57791 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85947 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440914154052734 y=0.655727386474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440914154052734 × 217)
    floor (0.440914154052734 × 131072)
    floor (57791.5)     		tx = 57791
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655727386474609 × 217)
    floor (0.655727386474609 × 131072)
    floor (85947.5)     		ty = 85947
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57791 / 85947 ti = "17/57791/85947"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57791/85947.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57791 ÷ 217
    57791 ÷ 131072     		x = 0.440910339355469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85947 ÷ 217
    85947 ÷ 131072     		y = 0.655723571777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440910339355469 × 2 - 1) × π
    -0.118179321289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.37127129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655723571777344 × 2 - 1) × π
    -0.311447143554688 × 3.1415926535     		Φ = -0.978440058144966
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37127129} λ = -0.37127129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.978440058144966))-π/2
    2×atan(0.375897019225198)-π/2
    2×0.359556866065073-π/2
    0.719113732130147-1.57079632675     		φ = -0.85168259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37127129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.272278°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85168259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.797818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57791 KachelY 85947 -0.37127129 -0.85168259 -21.272278 -48.797818
    Oben rechts KachelX + 1 57792 KachelY 85947 -0.37122335 -0.85168259 -21.269531 -48.797818
    Unten links KachelX 57791 KachelY + 1 85948 -0.37127129 -0.85171417 -21.272278 -48.799627
    Unten rechts KachelX + 1 57792 KachelY + 1 85948 -0.37122335 -0.85171417 -21.269531 -48.799627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85168259--0.85171417) × R
    3.1580000000031e-05 × 6371000     		dl = 201.196180000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85168259--0.85171417) × R
    3.1580000000031e-05 × 6371000     		dr = 201.196180000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37127129--0.37122335) × cos(-0.85168259) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.658718115342636 × 6371000     		do = 201.189467829798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37127129--0.37122335) × cos(-0.85171417) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.658694354543587 × 6371000     		du = 201.182210670165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85168259)-sin(-0.85171417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658718115342636-0.658694354543587)×R²
    abs(-0.37122335--0.37127129)×2.37607990491995e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37607990491995e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37607990491995e-05×40589641000000     		ar = 40477.8223305233m²