Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57789 / 85950
↖ ↑ ↗
← S 48.803246°
W 21.277771°		 ← 201.17 m → S 48.803246°
W 21.275024°		 →
↑
201.13 m
↓
↑
201.13 m
↓
S 48.805054°
W 21.277771°		 ← 201.16 m →
40 461 m²		 S 48.805054°
W 21.275024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57789 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85950 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440898895263672 y=0.655750274658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440898895263672 × 217)
    floor (0.440898895263672 × 131072)
    floor (57789.5)     		tx = 57789
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655750274658203 × 217)
    floor (0.655750274658203 × 131072)
    floor (85950.5)     		ty = 85950
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57789 / 85950 ti = "17/57789/85950"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57789/85950.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57789 ÷ 217
    57789 ÷ 131072     		x = 0.440895080566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85950 ÷ 217
    85950 ÷ 131072     		y = 0.655746459960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440895080566406 × 2 - 1) × π
    -0.118209838867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.37136716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655746459960938 × 2 - 1) × π
    -0.311492919921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.978583868843826
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37136716} λ = -0.37136716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.978583868843826))-π/2
    2×atan(0.375842965099038)-π/2
    2×0.359509503271551-π/2
    0.719019006543101-1.57079632675     		φ = -0.85177732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37136716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.277771°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85177732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.803246°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57789 KachelY 85950 -0.37136716 -0.85177732 -21.277771 -48.803246
    Oben rechts KachelX + 1 57790 KachelY 85950 -0.37131922 -0.85177732 -21.275024 -48.803246
    Unten links KachelX 57789 KachelY + 1 85951 -0.37136716 -0.85180889 -21.277771 -48.805054
    Unten rechts KachelX + 1 57790 KachelY + 1 85951 -0.37131922 -0.85180889 -21.275024 -48.805054
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85177732--0.85180889) × R
    3.15700000000918e-05 × 6371000     		dl = 201.132470000585m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85177732--0.85180889) × R
    3.15700000000918e-05 × 6371000     		dr = 201.132470000585m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37136716--0.37131922) × cos(-0.85177732) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.658646838499294 × 6371000     		do = 201.167698047175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37136716--0.37131922) × cos(-0.85180889) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.658623083254514 × 6371000     		du = 201.16044258396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85177732)-sin(-0.85180889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658646838499294-0.658623083254514)×R²
    abs(-0.37131922--0.37136716)×2.37552447803768e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37552447803768e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37552447803768e-05×40589641000000     		ar = 40460.6263413122m²