Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57788 / 87372
↖ ↑ ↗
← S 51.310013°
W 21.280518°		 ← 190.92 m → S 51.310013°
W 21.277771°		 →
↑
190.94 m
↓
↑
190.94 m
↓
S 51.311730°
W 21.280518°		 ← 190.92 m →
36 454 m²		 S 51.311730°
W 21.277771°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57788 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440891265869141 y=0.666599273681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440891265869141 × 217)
    floor (0.440891265869141 × 131072)
    floor (57788.5)     		tx = 57788
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666599273681641 × 217)
    floor (0.666599273681641 × 131072)
    floor (87372.5)     		ty = 87372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57788 / 87372 ti = "17/57788/87372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57788/87372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57788 ÷ 217
    57788 ÷ 131072     		x = 0.440887451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87372 ÷ 217
    87372 ÷ 131072     		y = 0.666595458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440887451171875 × 2 - 1) × π
    -0.11822509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37141510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666595458984375 × 2 - 1) × π
    -0.33319091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.04675014010355
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37141510} λ = -0.37141510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04675014010355))-π/2
    2×atan(0.351076847721135)-π/2
    2×0.337633826909434-π/2
    0.675267653818867-1.57079632675     		φ = -0.89552867
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37141510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.280518°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89552867 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.310013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57788 KachelY 87372 -0.37141510 -0.89552867 -21.280518 -51.310013
    Oben rechts KachelX + 1 57789 KachelY 87372 -0.37136716 -0.89552867 -21.277771 -51.310013
    Unten links KachelX 57788 KachelY + 1 87373 -0.37141510 -0.89555864 -21.280518 -51.311730
    Unten rechts KachelX + 1 57789 KachelY + 1 87373 -0.37136716 -0.89555864 -21.277771 -51.311730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89552867--0.89555864) × R
    2.99699999999348e-05 × 6371000     		dl = 190.938869999584m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89552867--0.89555864) × R
    2.99699999999348e-05 × 6371000     		dr = 190.938869999584m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37141510--0.37136716) × cos(-0.89552867) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.625106255861627 × 6371000     		do = 190.923540775263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37141510--0.37136716) × cos(-0.89555864) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.62508286280713 × 6371000     		du = 190.916395934282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89552867)-sin(-0.89555864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625106255861627-0.62508286280713)×R²
    abs(-0.37136716--0.37141510)×2.33930544966121e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33930544966121e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33930544966121e-05×40589641000000     		ar = 36454.0430207082m²