Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57787 / 87403
↖ ↑ ↗
← S 51.363207°
W 21.283264°		 ← 190.70 m → S 51.363207°
W 21.280518°		 →
↑
190.68 m
↓
↑
190.68 m
↓
S 51.364921°
W 21.283264°		 ← 190.69 m →
36 363 m²		 S 51.364921°
W 21.280518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440883636474609 y=0.666835784912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440883636474609 × 217)
    floor (0.440883636474609 × 131072)
    floor (57787.5)     		tx = 57787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666835784912109 × 217)
    floor (0.666835784912109 × 131072)
    floor (87403.5)     		ty = 87403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57787 / 87403 ti = "17/57787/87403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57787/87403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57787 ÷ 217
    57787 ÷ 131072     		x = 0.440879821777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87403 ÷ 217
    87403 ÷ 131072     		y = 0.666831970214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440879821777344 × 2 - 1) × π
    -0.118240356445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.37146304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666831970214844 × 2 - 1) × π
    -0.333663940429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.04823618399177
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37146304} λ = -0.37146304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04823618399177))-π/2
    2×atan(0.350555519571477)-π/2
    2×0.337169628580021-π/2
    0.674339257160043-1.57079632675     		φ = -0.89645707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37146304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.283264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89645707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.363207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57787 KachelY 87403 -0.37146304 -0.89645707 -21.283264 -51.363207
    Oben rechts KachelX + 1 57788 KachelY 87403 -0.37141510 -0.89645707 -21.280518 -51.363207
    Unten links KachelX 57787 KachelY + 1 87404 -0.37146304 -0.89648700 -21.283264 -51.364921
    Unten rechts KachelX + 1 57788 KachelY + 1 87404 -0.37141510 -0.89648700 -21.280518 -51.364921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89645707--0.89648700) × R
    2.99300000000668e-05 × 6371000     		dl = 190.684030000426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89645707--0.89648700) × R
    2.99300000000668e-05 × 6371000     		dr = 190.684030000426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37146304--0.37141510) × cos(-0.89645707) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.624381333542772 × 6371000     		do = 190.702130839584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37146304--0.37141510) × cos(-0.89648700) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.624357954351171 × 6371000     		du = 190.694990232688m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89645707)-sin(-0.89648700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624381333542772-0.624357954351171)×R²
    abs(-0.37141510--0.37146304)×2.33791916012249e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33791916012249e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33791916012249e-05×40589641000000     		ar = 36363.1700410709m²