Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57787 / 85945
↖ ↑ ↗
← S 48.794200°
W 21.283264°		 ← 201.20 m → S 48.794200°
W 21.280518°		 →
↑
201.20 m
↓
↑
201.20 m
↓
S 48.796009°
W 21.283264°		 ← 201.20 m →
40 481 m²		 S 48.796009°
W 21.280518°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57787 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440883636474609 y=0.655712127685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440883636474609 × 217)
    floor (0.440883636474609 × 131072)
    floor (57787.5)     		tx = 57787
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655712127685547 × 217)
    floor (0.655712127685547 × 131072)
    floor (85945.5)     		ty = 85945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57787 / 85945 ti = "17/57787/85945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57787/85945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57787 ÷ 217
    57787 ÷ 131072     		x = 0.440879821777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85945 ÷ 217
    85945 ÷ 131072     		y = 0.655708312988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440879821777344 × 2 - 1) × π
    -0.118240356445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.37146304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655708312988281 × 2 - 1) × π
    -0.311416625976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.978344184345726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37146304} λ = -0.37146304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.978344184345726))-π/2
    2×atan(0.375933059628192)-π/2
    2×0.359588444107976-π/2
    0.719176888215952-1.57079632675     		φ = -0.85161944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37146304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.283264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85161944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.794200°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57787 KachelY 85945 -0.37146304 -0.85161944 -21.283264 -48.794200
    Oben rechts KachelX + 1 57788 KachelY 85945 -0.37141510 -0.85161944 -21.280518 -48.794200
    Unten links KachelX 57787 KachelY + 1 85946 -0.37146304 -0.85165102 -21.283264 -48.796009
    Unten rechts KachelX + 1 57788 KachelY + 1 85946 -0.37141510 -0.85165102 -21.280518 -48.796009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85161944--0.85165102) × R
    3.1580000000031e-05 × 6371000     		dl = 201.196180000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85161944--0.85165102) × R
    3.1580000000031e-05 × 6371000     		dr = 201.196180000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37146304--0.37141510) × cos(-0.85161944) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.658765627446416 × 6371000     		do = 201.203979249487m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37146304--0.37141510) × cos(-0.85165102) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.658741867961057 × 6371000     		du = 201.196722491089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85161944)-sin(-0.85165102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658765627446416-0.658741867961057)×R²
    abs(-0.37141510--0.37146304)×2.37594853590428e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37594853590428e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37594853590428e-05×40589641000000     		ar = 40480.7420131015m²