Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57786 / 85954
↖ ↑ ↗
← S 48.810481°
W 21.286011°		 ← 201.10 m → S 48.810481°
W 21.283264°		 →
↑
201.07 m
↓
↑
201.07 m
↓
S 48.812290°
W 21.286011°		 ← 201.09 m →
40 434 m²		 S 48.812290°
W 21.283264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440876007080078 y=0.655780792236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440876007080078 × 217)
    floor (0.440876007080078 × 131072)
    floor (57786.5)     		tx = 57786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655780792236328 × 217)
    floor (0.655780792236328 × 131072)
    floor (85954.5)     		ty = 85954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57786 / 85954 ti = "17/57786/85954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57786/85954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57786 ÷ 217
    57786 ÷ 131072     		x = 0.440872192382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85954 ÷ 217
    85954 ÷ 131072     		y = 0.655776977539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440872192382812 × 2 - 1) × π
    -0.118255615234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37151097
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655776977539062 × 2 - 1) × π
    -0.311553955078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.978775616442306
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37151097} λ = -0.37151097}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.978775616442306))-π/2
    2×atan(0.375770905021969)-π/2
    2×0.359446360852204-π/2
    0.718892721704409-1.57079632675     		φ = -0.85190361
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37151097} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.286011°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85190361 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.810481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57786 KachelY 85954 -0.37151097 -0.85190361 -21.286011 -48.810481
    Oben rechts KachelX + 1 57787 KachelY 85954 -0.37146304 -0.85190361 -21.283264 -48.810481
    Unten links KachelX 57786 KachelY + 1 85955 -0.37151097 -0.85193517 -21.286011 -48.812290
    Unten rechts KachelX + 1 57787 KachelY + 1 85955 -0.37146304 -0.85193517 -21.283264 -48.812290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85190361--0.85193517) × R
    3.15599999999305e-05 × 6371000     		dl = 201.068759999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85190361--0.85193517) × R
    3.15599999999305e-05 × 6371000     		dr = 201.068759999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37151097--0.37146304) × cos(-0.85190361) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.658551806056354 × 6371000     		do = 201.096716357425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37151097--0.37146304) × cos(-0.85193517) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.658528055711364 × 6371000     		du = 201.089463903865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85190361)-sin(-0.85193517))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658551806056354-0.658528055711364)×R²
    abs(-0.37146304--0.37151097)×2.37503449904697e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37503449904697e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37503449904697e-05×40589641000000     		ar = 40433.5382804373m²