Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57785 / 85943
↖ ↑ ↗
← S 48.790581°
W 21.288757°		 ← 201.22 m → S 48.790581°
W 21.286011°		 →
↑
201.20 m
↓
↑
201.20 m
↓
S 48.792390°
W 21.288757°		 ← 201.21 m →
40 484 m²		 S 48.792390°
W 21.286011°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57785 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440868377685547 y=0.655696868896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440868377685547 × 217)
    floor (0.440868377685547 × 131072)
    floor (57785.5)     		tx = 57785
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655696868896484 × 217)
    floor (0.655696868896484 × 131072)
    floor (85943.5)     		ty = 85943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57785 / 85943 ti = "17/57785/85943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57785/85943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57785 ÷ 217
    57785 ÷ 131072     		x = 0.440864562988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85943 ÷ 217
    85943 ÷ 131072     		y = 0.655693054199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440864562988281 × 2 - 1) × π
    -0.118270874023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.37155891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655693054199219 × 2 - 1) × π
    -0.311386108398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.978248310546486
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37155891} λ = -0.37155891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.978248310546486))-π/2
    2×atan(0.375969103486682)-π/2
    2×0.359620024428701-π/2
    0.719240048857401-1.57079632675     		φ = -0.85155628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37155891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.288757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85155628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.790581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57785 KachelY 85943 -0.37155891 -0.85155628 -21.288757 -48.790581
    Oben rechts KachelX + 1 57786 KachelY 85943 -0.37151097 -0.85155628 -21.286011 -48.790581
    Unten links KachelX 57785 KachelY + 1 85944 -0.37155891 -0.85158786 -21.288757 -48.792390
    Unten rechts KachelX + 1 57786 KachelY + 1 85944 -0.37151097 -0.85158786 -21.286011 -48.792390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85155628--0.85158786) × R
    3.157999999992e-05 × 6371000     		dl = 201.19617999949m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85155628--0.85158786) × R
    3.157999999992e-05 × 6371000     		dr = 201.19617999949m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37155891--0.37151097) × cos(-0.85155628) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.658813144446157 × 6371000     		do = 201.218492164295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37155891--0.37151097) × cos(-0.85158786) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.658789386274791 × 6371000     		du = 201.211235807225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85155628)-sin(-0.85158786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658813144446157-0.658789386274791)×R²
    abs(-0.37151097--0.37155891)×2.37581713661283e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37581713661283e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37581713661283e-05×40589641000000     		ar = 40483.661996353m²