Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57783 / 85953
↖ ↑ ↗
← S 48.808673°
W 21.294250°		 ← 201.10 m → S 48.808673°
W 21.291504°		 →
↑
201.13 m
↓
↑
201.13 m
↓
S 48.810481°
W 21.294250°		 ← 201.10 m →
40 448 m²		 S 48.810481°
W 21.291504°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440853118896484 y=0.655773162841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440853118896484 × 217)
    floor (0.440853118896484 × 131072)
    floor (57783.5)     		tx = 57783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655773162841797 × 217)
    floor (0.655773162841797 × 131072)
    floor (85953.5)     		ty = 85953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57783 / 85953 ti = "17/57783/85953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57783/85953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57783 ÷ 217
    57783 ÷ 131072     		x = 0.440849304199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85953 ÷ 217
    85953 ÷ 131072     		y = 0.655769348144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440849304199219 × 2 - 1) × π
    -0.118301391601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.37165478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655769348144531 × 2 - 1) × π
    -0.311538696289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.978727679542686
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37165478} λ = -0.37165478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.978727679542686))-π/2
    2×atan(0.37578891874588)-π/2
    2×0.359462145602911-π/2
    0.718924291205821-1.57079632675     		φ = -0.85187204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37165478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.294250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85187204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.808673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57783 KachelY 85953 -0.37165478 -0.85187204 -21.294250 -48.808673
    Oben rechts KachelX + 1 57784 KachelY 85953 -0.37160685 -0.85187204 -21.291504 -48.808673
    Unten links KachelX 57783 KachelY + 1 85954 -0.37165478 -0.85190361 -21.294250 -48.810481
    Unten rechts KachelX + 1 57784 KachelY + 1 85954 -0.37160685 -0.85190361 -21.291504 -48.810481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85187204--0.85190361) × R
    3.15699999999808e-05 × 6371000     		dl = 201.132469999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85187204--0.85190361) × R
    3.15699999999808e-05 × 6371000     		dr = 201.132469999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37165478--0.37160685) × cos(-0.85187204) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.658575563270551 × 6371000     		do = 201.103970908812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37165478--0.37160685) × cos(-0.85190361) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.658551806056354 × 6371000     		du = 201.096716357658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85187204)-sin(-0.85190361))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.658575563270551-0.658551806056354)×R²
    abs(-0.37160685--0.37165478)×2.37572141966735e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37572141966735e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37572141966735e-05×40589641000000     		ar = 40447.8088361204m²