Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57778 / 44715
↖ ↑ ↗
← N 49.534122°
W 21.307984°		 ← 198.22 m → N 49.534122°
W 21.305237°		 →
↑
198.20 m
↓
↑
198.20 m
↓
N 49.532339°
W 21.307984°		 ← 198.23 m →
39 288 m²		 N 49.532339°
W 21.305237°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57778 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440814971923828 y=0.341152191162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440814971923828 × 217)
    floor (0.440814971923828 × 131072)
    floor (57778.5)     		tx = 57778
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341152191162109 × 217)
    floor (0.341152191162109 × 131072)
    floor (44715.5)     		ty = 44715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57778 / 44715 ti = "17/57778/44715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57778/44715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57778 ÷ 217
    57778 ÷ 131072     		x = 0.440811157226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44715 ÷ 217
    44715 ÷ 131072     		y = 0.341148376464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440811157226562 × 2 - 1) × π
    -0.118377685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37189447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341148376464844 × 2 - 1) × π
    0.317703247070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.998094186989189
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37189447} λ = -0.37189447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.998094186989189))-π/2
    2×atan(2.71310622501604)-π/2
    2×1.21766492166187-π/2
    2.43532984332374-1.57079632675     		φ = 0.86453352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37189447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.307984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86453352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.534122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57778 KachelY 44715 -0.37189447 0.86453352 -21.307984 49.534122
    Oben rechts KachelX + 1 57779 KachelY 44715 -0.37184653 0.86453352 -21.305237 49.534122
    Unten links KachelX 57778 KachelY + 1 44716 -0.37189447 0.86450241 -21.307984 49.532339
    Unten rechts KachelX + 1 57779 KachelY + 1 44716 -0.37184653 0.86450241 -21.305237 49.532339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86453352-0.86450241) × R
    3.11100000000009e-05 × 6371000     		dl = 198.201810000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86453352-0.86450241) × R
    3.11100000000009e-05 × 6371000     		dr = 198.201810000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37189447--0.37184653) × cos(0.86453352) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.648995080819076 × 6371000     		do = 198.219802815396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37189447--0.37184653) × cos(0.86450241) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649018748762898 × 6371000     		du = 198.227031614652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86453352)-sin(0.86450241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648995080819076-0.649018748762898)×R²
    abs(-0.37184653--0.37189447)×2.36679438223586e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36679438223586e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36679438223586e-05×40589641000000     		ar = 39288.240079653m²