Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57777 / 87375
↖ ↑ ↗
← S 51.315164°
W 21.310730°		 ← 190.86 m → S 51.315164°
W 21.307984°		 →
↑
190.94 m
↓
↑
190.94 m
↓
S 51.316881°
W 21.310730°		 ← 190.86 m →
36 442 m²		 S 51.316881°
W 21.307984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57777 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440807342529297 y=0.666622161865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440807342529297 × 217)
    floor (0.440807342529297 × 131072)
    floor (57777.5)     		tx = 57777
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666622161865234 × 217)
    floor (0.666622161865234 × 131072)
    floor (87375.5)     		ty = 87375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57777 / 87375 ti = "17/57777/87375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57777/87375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57777 ÷ 217
    57777 ÷ 131072     		x = 0.440803527832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87375 ÷ 217
    87375 ÷ 131072     		y = 0.666618347167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440803527832031 × 2 - 1) × π
    -0.118392944335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.37194240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.666618347167969 × 2 - 1) × π
    -0.333236694335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.04689395080241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37194240} λ = -0.37194240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04689395080241))-π/2
    2×atan(0.351026362744537)-π/2
    2×0.337588880948541-π/2
    0.675177761897082-1.57079632675     		φ = -0.89561856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37194240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.310730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89561856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.315164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57777 KachelY 87375 -0.37194240 -0.89561856 -21.310730 -51.315164
    Oben rechts KachelX + 1 57778 KachelY 87375 -0.37189447 -0.89561856 -21.307984 -51.315164
    Unten links KachelX 57777 KachelY + 1 87376 -0.37194240 -0.89564853 -21.310730 -51.316881
    Unten rechts KachelX + 1 57778 KachelY + 1 87376 -0.37189447 -0.89564853 -21.307984 -51.316881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89561856--0.89564853) × R
    2.99700000000458e-05 × 6371000     		dl = 190.938870000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89561856--0.89564853) × R
    2.99700000000458e-05 × 6371000     		dr = 190.938870000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37194240--0.37189447) × cos(-0.89561856) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.625036090625725 × 6371000     		do = 190.862289456852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37194240--0.37189447) × cos(-0.89564853) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.625012695887316 × 6371000     		du = 190.85514559204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89561856)-sin(-0.89564853))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625036090625725-0.625012695887316)×R²
    abs(-0.37189447--0.37194240)×2.3394738409066e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3394738409066e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3394738409066e-05×40589641000000     		ar = 36442.3478566659m²