Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57775 / 87376
↖ ↑ ↗
← S 51.316881°
W 21.316223°		 ← 190.89 m → S 51.316881°
W 21.313477°		 →
↑
190.88 m
↓
↑
190.88 m
↓
S 51.318597°
W 21.316223°		 ← 190.89 m →
36 436 m²		 S 51.318597°
W 21.313477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440792083740234 y=0.666629791259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440792083740234 × 217)
    floor (0.440792083740234 × 131072)
    floor (57775.5)     		tx = 57775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.666629791259766 × 217)
    floor (0.666629791259766 × 131072)
    floor (87376.5)     		ty = 87376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57775 / 87376 ti = "17/57775/87376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57775/87376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57775 ÷ 217
    57775 ÷ 131072     		x = 0.440788269042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87376 ÷ 217
    87376 ÷ 131072     		y = 0.6666259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440788269042969 × 2 - 1) × π
    -0.118423461914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.37203828
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6666259765625 × 2 - 1) × π
    -0.333251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.04694188770203
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37203828} λ = -0.37203828}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.04694188770203))-π/2
    2×atan(0.351009536032336)-π/2
    2×0.337573900082756-π/2
    0.675147800165512-1.57079632675     		φ = -0.89564853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37203828} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.316223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.89564853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -51.316881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57775 KachelY 87376 -0.37203828 -0.89564853 -21.316223 -51.316881
    Oben rechts KachelX + 1 57776 KachelY 87376 -0.37199034 -0.89564853 -21.313477 -51.316881
    Unten links KachelX 57775 KachelY + 1 87377 -0.37203828 -0.89567849 -21.316223 -51.318597
    Unten rechts KachelX + 1 57776 KachelY + 1 87377 -0.37199034 -0.89567849 -21.313477 -51.318597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.89564853--0.89567849) × R
    2.99599999999955e-05 × 6371000     		dl = 190.875159999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.89564853--0.89567849) × R
    2.99599999999955e-05 × 6371000     		dr = 190.875159999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37203828--0.37199034) × cos(-0.89564853) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.625012695887316 × 6371000     		do = 190.894965150874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37203828--0.37199034) × cos(-0.89567849) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.624989308393853 × 6371000     		du = 190.887822008377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.89564853)-sin(-0.89567849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625012695887316-0.624989308393853)×R²
    abs(-0.37199034--0.37203828)×2.33874934628675e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33874934628675e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33874934628675e-05×40589641000000     		ar = 36436.4252948639m²