Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57774 / 85062
↖ ↑ ↗
← S 47.171044°
W 21.318969°		 ← 207.59 m → S 47.171044°
W 21.316223°		 →
↑
207.63 m
↓
↑
207.63 m
↓
S 47.172911°
W 21.318969°		 ← 207.58 m →
43 101 m²		 S 47.172911°
W 21.316223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440784454345703 y=0.648975372314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440784454345703 × 217)
    floor (0.440784454345703 × 131072)
    floor (57774.5)     		tx = 57774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648975372314453 × 217)
    floor (0.648975372314453 × 131072)
    floor (85062.5)     		ty = 85062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57774 / 85062 ti = "17/57774/85062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57774/85062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57774 ÷ 217
    57774 ÷ 131072     		x = 0.440780639648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85062 ÷ 217
    85062 ÷ 131072     		y = 0.648971557617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440780639648438 × 2 - 1) × π
    -0.118438720703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37208621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648971557617188 × 2 - 1) × π
    -0.297943115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.936015901981216
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37208621} λ = -0.37208621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.936015901981216))-π/2
    2×atan(0.392187239289805)-π/2
    2×0.373753147382093-π/2
    0.747506294764186-1.57079632675     		φ = -0.82329003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37208621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.318969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82329003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.171044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57774 KachelY 85062 -0.37208621 -0.82329003 -21.318969 -47.171044
    Oben rechts KachelX + 1 57775 KachelY 85062 -0.37203828 -0.82329003 -21.316223 -47.171044
    Unten links KachelX 57774 KachelY + 1 85063 -0.37208621 -0.82332262 -21.318969 -47.172911
    Unten rechts KachelX + 1 57775 KachelY + 1 85063 -0.37203828 -0.82332262 -21.316223 -47.172911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82329003--0.82332262) × R
    3.2589999999999e-05 × 6371000     		dl = 207.630889999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82329003--0.82332262) × R
    3.2589999999999e-05 × 6371000     		dr = 207.630889999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37208621--0.37203828) × cos(-0.82329003) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.679812027633771 × 6371000     		do = 207.588780776551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37208621--0.37203828) × cos(-0.82332262) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.679788126210085 × 6371000     		du = 207.581482189294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82329003)-sin(-0.82332262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679812027633771-0.679788126210085)×R²
    abs(-0.37203828--0.37208621)×2.39014236861346e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39014236861346e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39014236861346e-05×40589641000000     		ar = 43101.0856043586m²