Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57773 / 85930
↖ ↑ ↗
← S 48.767052°
W 21.321716°		 ← 201.31 m → S 48.767052°
W 21.318969°		 →
↑
201.32 m
↓
↑
201.32 m
↓
S 48.768862°
W 21.321716°		 ← 201.31 m →
40 528 m²		 S 48.768862°
W 21.318969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57773 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85930 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440776824951172 y=0.655597686767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440776824951172 × 217)
    floor (0.440776824951172 × 131072)
    floor (57773.5)     		tx = 57773
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655597686767578 × 217)
    floor (0.655597686767578 × 131072)
    floor (85930.5)     		ty = 85930
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57773 / 85930 ti = "17/57773/85930"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57773/85930.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57773 ÷ 217
    57773 ÷ 131072     		x = 0.440773010253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85930 ÷ 217
    85930 ÷ 131072     		y = 0.655593872070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440773010253906 × 2 - 1) × π
    -0.118453979492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.37213415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655593872070312 × 2 - 1) × π
    -0.311187744140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.977625130851425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37213415} λ = -0.37213415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.977625130851425))-π/2
    2×atan(0.376203472817464)-π/2
    2×0.359825352037955-π/2
    0.719650704075909-1.57079632675     		φ = -0.85114562
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37213415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.321716°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85114562 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.767052°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57773 KachelY 85930 -0.37213415 -0.85114562 -21.321716 -48.767052
    Oben rechts KachelX + 1 57774 KachelY 85930 -0.37208621 -0.85114562 -21.318969 -48.767052
    Unten links KachelX 57773 KachelY + 1 85931 -0.37213415 -0.85117722 -21.321716 -48.768862
    Unten rechts KachelX + 1 57774 KachelY + 1 85931 -0.37208621 -0.85117722 -21.318969 -48.768862
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85114562--0.85117722) × R
    3.15999999999095e-05 × 6371000     		dl = 201.323599999423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85114562--0.85117722) × R
    3.15999999999095e-05 × 6371000     		dr = 201.323599999423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37213415--0.37208621) × cos(-0.85114562) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.659122031119708 × 6371000     		do = 201.312834105141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37213415--0.37208621) × cos(-0.85117722) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.659098266452967 × 6371000     		du = 201.305575764216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85114562)-sin(-0.85117722))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659122031119708-0.659098266452967)×R²
    abs(-0.37208621--0.37213415)×2.3764666741144e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3764666741144e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3764666741144e-05×40589641000000     		ar = 40528.2938538881m²