Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57772 / 85934
↖ ↑ ↗
← S 48.774293°
W 21.324463°		 ← 201.28 m → S 48.774293°
W 21.321716°		 →
↑
201.26 m
↓
↑
201.26 m
↓
S 48.776103°
W 21.324463°		 ← 201.28 m →
40 510 m²		 S 48.776103°
W 21.321716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440769195556641 y=0.655628204345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440769195556641 × 217)
    floor (0.440769195556641 × 131072)
    floor (57772.5)     		tx = 57772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655628204345703 × 217)
    floor (0.655628204345703 × 131072)
    floor (85934.5)     		ty = 85934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57772 / 85934 ti = "17/57772/85934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57772/85934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57772 ÷ 217
    57772 ÷ 131072     		x = 0.440765380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85934 ÷ 217
    85934 ÷ 131072     		y = 0.655624389648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440765380859375 × 2 - 1) × π
    -0.11846923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37218209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655624389648438 × 2 - 1) × π
    -0.311248779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.977816878449905
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37218209} λ = -0.37218209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.977816878449905))-π/2
    2×atan(0.376131343620532)-π/2
    2×0.35976216406103-π/2
    0.71952432812206-1.57079632675     		φ = -0.85127200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37218209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.324463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85127200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.774293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57772 KachelY 85934 -0.37218209 -0.85127200 -21.324463 -48.774293
    Oben rechts KachelX + 1 57773 KachelY 85934 -0.37213415 -0.85127200 -21.321716 -48.774293
    Unten links KachelX 57772 KachelY + 1 85935 -0.37218209 -0.85130359 -21.324463 -48.776103
    Unten rechts KachelX + 1 57773 KachelY + 1 85935 -0.37213415 -0.85130359 -21.321716 -48.776103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85127200--0.85130359) × R
    3.15899999999703e-05 × 6371000     		dl = 201.25988999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85127200--0.85130359) × R
    3.15899999999703e-05 × 6371000     		dr = 201.25988999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37218209--0.37213415) × cos(-0.85127200) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.659026983546329 × 6371000     		do = 201.283804129706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37218209--0.37213415) × cos(-0.85130359) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.659003223768951 × 6371000     		du = 201.276547282119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85127200)-sin(-0.85130359))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659026983546329-0.659003223768951)×R²
    abs(-0.37213415--0.37218209)×2.37597773777853e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37597773777853e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37597773777853e-05×40589641000000     		ar = 40509.6260251694m²