Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57772 / 85932
↖ ↑ ↗
← S 48.770672°
W 21.324463°		 ← 201.30 m → S 48.770672°
W 21.321716°		 →
↑
201.32 m
↓
↑
201.32 m
↓
S 48.772483°
W 21.324463°		 ← 201.29 m →
40 525 m²		 S 48.772483°
W 21.321716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440769195556641 y=0.655612945556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440769195556641 × 217)
    floor (0.440769195556641 × 131072)
    floor (57772.5)     		tx = 57772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655612945556641 × 217)
    floor (0.655612945556641 × 131072)
    floor (85932.5)     		ty = 85932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57772 / 85932 ti = "17/57772/85932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57772/85932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57772 ÷ 217
    57772 ÷ 131072     		x = 0.440765380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85932 ÷ 217
    85932 ÷ 131072     		y = 0.655609130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440765380859375 × 2 - 1) × π
    -0.11846923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37218209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655609130859375 × 2 - 1) × π
    -0.31121826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.977721004650665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37218209} λ = -0.37218209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.977721004650665))-π/2
    2×atan(0.376167406490173)-π/2
    2×0.359793756910457-π/2
    0.719587513820914-1.57079632675     		φ = -0.85120881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37218209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.324463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85120881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.770672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57772 KachelY 85932 -0.37218209 -0.85120881 -21.324463 -48.770672
    Oben rechts KachelX + 1 57773 KachelY 85932 -0.37213415 -0.85120881 -21.321716 -48.770672
    Unten links KachelX 57772 KachelY + 1 85933 -0.37218209 -0.85124041 -21.324463 -48.772483
    Unten rechts KachelX + 1 57773 KachelY + 1 85933 -0.37213415 -0.85124041 -21.321716 -48.772483
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85120881--0.85124041) × R
    3.15999999999095e-05 × 6371000     		dl = 201.323599999423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85120881--0.85124041) × R
    3.15999999999095e-05 × 6371000     		dr = 201.323599999423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37218209--0.37213415) × cos(-0.85120881) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.659074508648853 × 6371000     		do = 201.298319519313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37218209--0.37213415) × cos(-0.85124041) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.659050742666046 × 6371000     		du = 201.291060776428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85120881)-sin(-0.85124041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659074508648853-0.659050742666046)×R²
    abs(-0.37213415--0.37218209)×2.3765982807511e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3765982807511e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3765982807511e-05×40589641000000     		ar = 40525.3716845817m²