Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57771 / 44732
↖ ↑ ↗
← N 49.503810°
W 21.327210°		 ← 198.34 m → N 49.503810°
W 21.324463°		 →
↑
198.33 m
↓
↑
198.33 m
↓
N 49.502026°
W 21.327210°		 ← 198.35 m →
39 338 m²		 N 49.502026°
W 21.324463°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440761566162109 y=0.341281890869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440761566162109 × 217)
    floor (0.440761566162109 × 131072)
    floor (57771.5)     		tx = 57771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341281890869141 × 217)
    floor (0.341281890869141 × 131072)
    floor (44732.5)     		ty = 44732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57771 / 44732 ti = "17/57771/44732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57771/44732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57771 ÷ 217
    57771 ÷ 131072     		x = 0.440757751464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44732 ÷ 217
    44732 ÷ 131072     		y = 0.341278076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440757751464844 × 2 - 1) × π
    -0.118484497070312 × 3.1415926535     		Λ = -0.37223003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341278076171875 × 2 - 1) × π
    0.31744384765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.997279259695648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37223003} λ = -0.37223003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.997279259695648))-π/2
    2×atan(2.71089614135406)-π/2
    2×1.21740039777807-π/2
    2.43480079555613-1.57079632675     		φ = 0.86400447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37223003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.327210°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86400447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.503810°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57771 KachelY 44732 -0.37223003 0.86400447 -21.327210 49.503810
    Oben rechts KachelX + 1 57772 KachelY 44732 -0.37218209 0.86400447 -21.324463 49.503810
    Unten links KachelX 57771 KachelY + 1 44733 -0.37223003 0.86397334 -21.327210 49.502026
    Unten rechts KachelX + 1 57772 KachelY + 1 44733 -0.37218209 0.86397334 -21.324463 49.502026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86400447-0.86397334) × R
    3.11299999999903e-05 × 6371000     		dl = 198.329229999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86400447-0.86397334) × R
    3.11299999999903e-05 × 6371000     		dr = 198.329229999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37223003--0.37218209) × cos(0.86400447) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649397487302138 × 6371000     		do = 198.342708113266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37223003--0.37218209) × cos(0.86397334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.649421159769388 × 6371000     		du = 198.349938294093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86400447)-sin(0.86397334))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649397487302138-0.649421159769388)×R²
    abs(-0.37218209--0.37223003)×2.3672467249658e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3672467249658e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3672467249658e-05×40589641000000     		ar = 39337.8735573598m²