Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57770 / 81434
↖ ↑ ↗
← S 39.964491°
W 21.329956°		 ← 234.04 m → S 39.964491°
W 21.327210°		 →
↑
234.07 m
↓
↑
234.07 m
↓
S 39.966596°
W 21.329956°		 ← 234.04 m →
54 782 m²		 S 39.966596°
W 21.327210°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440753936767578 y=0.621295928955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440753936767578 × 217)
    floor (0.440753936767578 × 131072)
    floor (57770.5)     		tx = 57770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621295928955078 × 217)
    floor (0.621295928955078 × 131072)
    floor (81434.5)     		ty = 81434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57770 / 81434 ti = "17/57770/81434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57770/81434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57770 ÷ 217
    57770 ÷ 131072     		x = 0.440750122070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81434 ÷ 217
    81434 ÷ 131072     		y = 0.621292114257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440750122070312 × 2 - 1) × π
    -0.118499755859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37227796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621292114257812 × 2 - 1) × π
    -0.242584228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.762100830159653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37227796} λ = -0.37227796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.762100830159653))-π/2
    2×atan(0.466684970573002)-π/2
    2×0.436642190288132-π/2
    0.873284380576264-1.57079632675     		φ = -0.69751195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37227796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.329956°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69751195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.964491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57770 KachelY 81434 -0.37227796 -0.69751195 -21.329956 -39.964491
    Oben rechts KachelX + 1 57771 KachelY 81434 -0.37223003 -0.69751195 -21.327210 -39.964491
    Unten links KachelX 57770 KachelY + 1 81435 -0.37227796 -0.69754869 -21.329956 -39.966596
    Unten rechts KachelX + 1 57771 KachelY + 1 81435 -0.37223003 -0.69754869 -21.327210 -39.966596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69751195--0.69754869) × R
    3.67399999999796e-05 × 6371000     		dl = 234.07053999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69751195--0.69754869) × R
    3.67399999999796e-05 × 6371000     		dr = 234.07053999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37227796--0.37223003) × cos(-0.69751195) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.766442664111949 × 6371000     		do = 234.042487791976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37227796--0.37223003) × cos(-0.69754869) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.766419065024985 × 6371000     		du = 234.035281526875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69751195)-sin(-0.69754869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.766442664111949-0.766419065024985)×R²
    abs(-0.37223003--0.37227796)×2.35990869634772e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35990869634772e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35990869634772e-05×40589641000000     		ar = 54781.608119396m²