Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57769 / 85161
↖ ↑ ↗
← S 47.355571°
W 21.332703°		 ← 206.91 m → S 47.355571°
W 21.329956°		 →
↑
206.87 m
↓
↑
206.87 m
↓
S 47.357432°
W 21.332703°		 ← 206.90 m →
42 802 m²		 S 47.357432°
W 21.329956°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57769 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440746307373047 y=0.649730682373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440746307373047 × 217)
    floor (0.440746307373047 × 131072)
    floor (57769.5)     		tx = 57769
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649730682373047 × 217)
    floor (0.649730682373047 × 131072)
    floor (85161.5)     		ty = 85161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57769 / 85161 ti = "17/57769/85161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57769/85161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57769 ÷ 217
    57769 ÷ 131072     		x = 0.440742492675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85161 ÷ 217
    85161 ÷ 131072     		y = 0.649726867675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440742492675781 × 2 - 1) × π
    -0.118515014648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.37232590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649726867675781 × 2 - 1) × π
    -0.299453735351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.940761655043602
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37232590} λ = -0.37232590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.940761655043602))-π/2
    2×atan(0.390330424973986)-π/2
    2×0.372142844102958-π/2
    0.744285688205916-1.57079632675     		φ = -0.82651064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37232590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.332703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82651064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.355571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57769 KachelY 85161 -0.37232590 -0.82651064 -21.332703 -47.355571
    Oben rechts KachelX + 1 57770 KachelY 85161 -0.37227796 -0.82651064 -21.329956 -47.355571
    Unten links KachelX 57769 KachelY + 1 85162 -0.37232590 -0.82654311 -21.332703 -47.357432
    Unten rechts KachelX + 1 57770 KachelY + 1 85162 -0.37227796 -0.82654311 -21.329956 -47.357432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82651064--0.82654311) × R
    3.24700000000622e-05 × 6371000     		dl = 206.866370000396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82651064--0.82654311) × R
    3.24700000000622e-05 × 6371000     		dr = 206.866370000396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37232590--0.37227796) × cos(-0.82651064) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.677446554539487 × 6371000     		do = 206.909615230538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37232590--0.37227796) × cos(-0.82654311) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.677422670159567 × 6371000     		du = 206.902320326126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82651064)-sin(-0.82654311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677446554539487-0.677422670159567)×R²
    abs(-0.37227796--0.37232590)×2.38843799202915e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38843799202915e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38843799202915e-05×40589641000000     		ar = 42801.8864894483m²