Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57766 / 81511
↖ ↑ ↗
← S 40.126391°
W 21.340942°		 ← 233.54 m → S 40.126391°
W 21.338196°		 →
↑
233.50 m
↓
↑
233.50 m
↓
S 40.128491°
W 21.340942°		 ← 233.53 m →
54 529 m²		 S 40.128491°
W 21.338196°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57766 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440723419189453 y=0.621883392333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440723419189453 × 217)
    floor (0.440723419189453 × 131072)
    floor (57766.5)     		tx = 57766
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621883392333984 × 217)
    floor (0.621883392333984 × 131072)
    floor (81511.5)     		ty = 81511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57766 / 81511 ti = "17/57766/81511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57766/81511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57766 ÷ 217
    57766 ÷ 131072     		x = 0.440719604492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81511 ÷ 217
    81511 ÷ 131072     		y = 0.621879577636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440719604492188 × 2 - 1) × π
    -0.118560791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37246971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.621879577636719 × 2 - 1) × π
    -0.243759155273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.765791971430397
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37246971} λ = -0.37246971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.765791971430397))-π/2
    2×atan(0.464965545689953)-π/2
    2×0.435229343590192-π/2
    0.870458687180383-1.57079632675     		φ = -0.70033764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37246971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.340942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70033764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.126391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57766 KachelY 81511 -0.37246971 -0.70033764 -21.340942 -40.126391
    Oben rechts KachelX + 1 57767 KachelY 81511 -0.37242177 -0.70033764 -21.338196 -40.126391
    Unten links KachelX 57766 KachelY + 1 81512 -0.37246971 -0.70037429 -21.340942 -40.128491
    Unten rechts KachelX + 1 57767 KachelY + 1 81512 -0.37242177 -0.70037429 -21.338196 -40.128491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70033764--0.70037429) × R
    3.66499999999714e-05 × 6371000     		dl = 233.497149999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70033764--0.70037429) × R
    3.66499999999714e-05 × 6371000     		dr = 233.497149999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37246971--0.37242177) × cos(-0.70033764) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.764624630032404 × 6371000     		do = 233.53604344999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37246971--0.37242177) × cos(-0.70037429) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.764601009477443 × 6371000     		du = 233.528829124512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70033764)-sin(-0.70037429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764624630032404-0.764601009477443)×R²
    abs(-0.37242177--0.37246971)×2.3620554960635e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3620554960635e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3620554960635e-05×40589641000000     		ar = 54529.158311765m²