Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57762 / 84441
↖ ↑ ↗
← S 45.998870°
W 21.351929°		 ← 212.17 m → S 45.998870°
W 21.349182°		 →
↑
212.15 m
↓
↑
212.15 m
↓
S 46.000778°
W 21.351929°		 ← 212.16 m →
45 012 m²		 S 46.000778°
W 21.349182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57762 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440692901611328 y=0.644237518310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440692901611328 × 217)
    floor (0.440692901611328 × 131072)
    floor (57762.5)     		tx = 57762
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644237518310547 × 217)
    floor (0.644237518310547 × 131072)
    floor (84441.5)     		ty = 84441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57762 / 84441 ti = "17/57762/84441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57762/84441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57762 ÷ 217
    57762 ÷ 131072     		x = 0.440689086914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84441 ÷ 217
    84441 ÷ 131072     		y = 0.644233703613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440689086914062 × 2 - 1) × π
    -0.118621826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.37266146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644233703613281 × 2 - 1) × π
    -0.288467407226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.906247087317162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37266146} λ = -0.37266146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.906247087317162))-π/2
    2×atan(0.404037700495305)-π/2
    2×0.383982299819382-π/2
    0.767964599638763-1.57079632675     		φ = -0.80283173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37266146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.351929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80283173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.998870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57762 KachelY 84441 -0.37266146 -0.80283173 -21.351929 -45.998870
    Oben rechts KachelX + 1 57763 KachelY 84441 -0.37261352 -0.80283173 -21.349182 -45.998870
    Unten links KachelX 57762 KachelY + 1 84442 -0.37266146 -0.80286503 -21.351929 -46.000778
    Unten rechts KachelX + 1 57763 KachelY + 1 84442 -0.37261352 -0.80286503 -21.349182 -46.000778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80283173--0.80286503) × R
    3.33000000000139e-05 × 6371000     		dl = 212.154300000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80283173--0.80286503) × R
    3.33000000000139e-05 × 6371000     		dr = 212.154300000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37266146--0.37261352) × cos(-0.80283173) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.694672559961324 × 6371000     		do = 212.170880683988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37266146--0.37261352) × cos(-0.80286503) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.694648606017127 × 6371000     		du = 212.163564532856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80283173)-sin(-0.80286503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694672559961324-0.694648606017127)×R²
    abs(-0.37261352--0.37266146)×2.395394419763e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.395394419763e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.395394419763e-05×40589641000000     		ar = 45012.1885995883m²