Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57760 / 44448
↖ ↑ ↗
← N 50.007739°
W 21.357422°		 ← 196.29 m → N 50.007739°
W 21.354675°		 →
↑
196.29 m
↓
↑
196.29 m
↓
N 50.005974°
W 21.357422°		 ← 196.30 m →
38 531 m²		 N 50.005974°
W 21.354675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440677642822266 y=0.339115142822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440677642822266 × 217)
    floor (0.440677642822266 × 131072)
    floor (57760.5)     		tx = 57760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339115142822266 × 217)
    floor (0.339115142822266 × 131072)
    floor (44448.5)     		ty = 44448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57760 / 44448 ti = "17/57760/44448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57760/44448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57760 ÷ 217
    57760 ÷ 131072     		x = 0.440673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44448 ÷ 217
    44448 ÷ 131072     		y = 0.339111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440673828125 × 2 - 1) × π
    -0.11865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37275733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339111328125 × 2 - 1) × π
    0.32177734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.01089333918774
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37275733} λ = -0.37275733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01089333918774))-π/2
    2×atan(2.74805486389403)-π/2
    2×1.22179801202988-π/2
    2.44359602405977-1.57079632675     		φ = 0.87279970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37275733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.357422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87279970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.007739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57760 KachelY 44448 -0.37275733 0.87279970 -21.357422 50.007739
    Oben rechts KachelX + 1 57761 KachelY 44448 -0.37270939 0.87279970 -21.354675 50.007739
    Unten links KachelX 57760 KachelY + 1 44449 -0.37275733 0.87276889 -21.357422 50.005974
    Unten rechts KachelX + 1 57761 KachelY + 1 44449 -0.37270939 0.87276889 -21.354675 50.005974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87279970-0.87276889) × R
    3.08099999999367e-05 × 6371000     		dl = 196.290509999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87279970-0.87276889) × R
    3.08099999999367e-05 × 6371000     		dr = 196.290509999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37275733--0.37270939) × cos(0.87279970) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.642684131133747 × 6371000     		do = 196.29227633788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37275733--0.37270939) × cos(0.87276889) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.642707735332828 × 6371000     		du = 196.299485667852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87279970)-sin(0.87276889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642684131133747-0.642707735332828)×R²
    abs(-0.37270939--0.37275733)×2.36041990817615e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36041990817615e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36041990817615e-05×40589641000000     		ar = 38531.0185959112m²