Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57759 / 84545
↖ ↑ ↗
← S 46.196943°
W 21.360169°		 ← 211.41 m → S 46.196943°
W 21.357422°		 →
↑
211.39 m
↓
↑
211.39 m
↓
S 46.198844°
W 21.360169°		 ← 211.40 m →
44 689 m²		 S 46.198844°
W 21.357422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57759 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440670013427734 y=0.645030975341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440670013427734 × 217)
    floor (0.440670013427734 × 131072)
    floor (57759.5)     		tx = 57759
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645030975341797 × 217)
    floor (0.645030975341797 × 131072)
    floor (84545.5)     		ty = 84545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57759 / 84545 ti = "17/57759/84545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57759/84545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57759 ÷ 217
    57759 ÷ 131072     		x = 0.440666198730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84545 ÷ 217
    84545 ÷ 131072     		y = 0.645027160644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440666198730469 × 2 - 1) × π
    -0.118667602539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.37280527
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645027160644531 × 2 - 1) × π
    -0.290054321289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.911232524877647
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37280527} λ = -0.37280527}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.911232524877647))-π/2
    2×atan(0.402028408528898)-π/2
    2×0.382253781150871-π/2
    0.764507562301742-1.57079632675     		φ = -0.80628876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37280527} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.360169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80628876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.196943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57759 KachelY 84545 -0.37280527 -0.80628876 -21.360169 -46.196943
    Oben rechts KachelX + 1 57760 KachelY 84545 -0.37275733 -0.80628876 -21.357422 -46.196943
    Unten links KachelX 57759 KachelY + 1 84546 -0.37280527 -0.80632194 -21.360169 -46.198844
    Unten rechts KachelX + 1 57760 KachelY + 1 84546 -0.37275733 -0.80632194 -21.357422 -46.198844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80628876--0.80632194) × R
    3.3179999999966e-05 × 6371000     		dl = 211.389779999783m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80628876--0.80632194) × R
    3.3179999999966e-05 × 6371000     		dr = 211.389779999783m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37280527--0.37275733) × cos(-0.80628876) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.692181681984574 × 6371000     		do = 211.410102434689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37280527--0.37275733) × cos(-0.80632194) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.692157734824529 × 6371000     		du = 211.402788355612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80628876)-sin(-0.80632194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692181681984574-0.692157734824529)×R²
    abs(-0.37275733--0.37280527)×2.39471600446128e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39471600446128e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39471600446128e-05×40589641000000     		ar = 44689.1619866238m²