Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57758 / 84541
↖ ↑ ↗
← S 46.189338°
W 21.362915°		 ← 211.44 m → S 46.189338°
W 21.360169°		 →
↑
211.45 m
↓
↑
211.45 m
↓
S 46.191240°
W 21.362915°		 ← 211.43 m →
44 709 m²		 S 46.191240°
W 21.360169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440662384033203 y=0.645000457763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440662384033203 × 217)
    floor (0.440662384033203 × 131072)
    floor (57758.5)     		tx = 57758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645000457763672 × 217)
    floor (0.645000457763672 × 131072)
    floor (84541.5)     		ty = 84541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57758 / 84541 ti = "17/57758/84541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57758/84541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57758 ÷ 217
    57758 ÷ 131072     		x = 0.440658569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84541 ÷ 217
    84541 ÷ 131072     		y = 0.644996643066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440658569335938 × 2 - 1) × π
    -0.118682861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37285321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644996643066406 × 2 - 1) × π
    -0.289993286132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.911040777279167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37285321} λ = -0.37285321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.911040777279167))-π/2
    2×atan(0.402105503901944)-π/2
    2×0.382320147830075-π/2
    0.76464029566015-1.57079632675     		φ = -0.80615603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37285321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.362915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80615603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.189338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57758 KachelY 84541 -0.37285321 -0.80615603 -21.362915 -46.189338
    Oben rechts KachelX + 1 57759 KachelY 84541 -0.37280527 -0.80615603 -21.360169 -46.189338
    Unten links KachelX 57758 KachelY + 1 84542 -0.37285321 -0.80618922 -21.362915 -46.191240
    Unten rechts KachelX + 1 57759 KachelY + 1 84542 -0.37280527 -0.80618922 -21.360169 -46.191240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80615603--0.80618922) × R
    3.31900000000163e-05 × 6371000     		dl = 211.453490000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80615603--0.80618922) × R
    3.31900000000163e-05 × 6371000     		dr = 211.453490000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37285321--0.37280527) × cos(-0.80615603) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.692277470220489 × 6371000     		do = 211.439358627282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37285321--0.37280527) × cos(-0.80618922) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.692253518892414 × 6371000     		du = 211.432043275181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80615603)-sin(-0.80618922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.692277470220489-0.692253518892414)×R²
    abs(-0.37280527--0.37285321)×2.39513280750892e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39513280750892e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39513280750892e-05×40589641000000     		ar = 44708.8168809745m²