Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57758 / 44447
↖ ↑ ↗
← N 50.009504°
W 21.362915°		 ← 196.29 m → N 50.009504°
W 21.360169°		 →
↑
196.29 m
↓
↑
196.29 m
↓
N 50.007739°
W 21.362915°		 ← 196.29 m →
38 530 m²		 N 50.007739°
W 21.360169°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57758 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440662384033203 y=0.339107513427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440662384033203 × 217)
    floor (0.440662384033203 × 131072)
    floor (57758.5)     		tx = 57758
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339107513427734 × 217)
    floor (0.339107513427734 × 131072)
    floor (44447.5)     		ty = 44447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57758 / 44447 ti = "17/57758/44447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57758/44447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57758 ÷ 217
    57758 ÷ 131072     		x = 0.440658569335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44447 ÷ 217
    44447 ÷ 131072     		y = 0.339103698730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440658569335938 × 2 - 1) × π
    -0.118682861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.37285321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339103698730469 × 2 - 1) × π
    0.321792602539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.01094127608736
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37285321} λ = -0.37285321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01094127608736))-π/2
    2×atan(2.74818660028168)-π/2
    2×1.22181341588941-π/2
    2.44362683177882-1.57079632675     		φ = 0.87283051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37285321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.362915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87283051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.009504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57758 KachelY 44447 -0.37285321 0.87283051 -21.362915 50.009504
    Oben rechts KachelX + 1 57759 KachelY 44447 -0.37280527 0.87283051 -21.360169 50.009504
    Unten links KachelX 57758 KachelY + 1 44448 -0.37285321 0.87279970 -21.362915 50.007739
    Unten rechts KachelX + 1 57759 KachelY + 1 44448 -0.37280527 0.87279970 -21.360169 50.007739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87283051-0.87279970) × R
    3.08100000000477e-05 × 6371000     		dl = 196.290510000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87283051-0.87279970) × R
    3.08100000000477e-05 × 6371000     		dr = 196.290510000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37285321--0.37280527) × cos(0.87283051) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.642660526324593 × 6371000     		do = 196.28506682135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37285321--0.37280527) × cos(0.87279970) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.642684131133747 × 6371000     		du = 196.292276337653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87283051)-sin(0.87279970))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642660526324593-0.642684131133747)×R²
    abs(-0.37280527--0.37285321)×2.36048091535324e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36048091535324e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36048091535324e-05×40589641000000     		ar = 38529.6034546602m²