Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57756 / 84218
↖ ↑ ↗
← S 45.571755°
W 21.368408°		 ← 213.80 m → S 45.571755°
W 21.365661°		 →
↑
213.81 m
↓
↑
213.81 m
↓
S 45.573678°
W 21.368408°		 ← 213.80 m →
45 713 m²		 S 45.573678°
W 21.365661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57756 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440647125244141 y=0.642536163330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440647125244141 × 217)
    floor (0.440647125244141 × 131072)
    floor (57756.5)     		tx = 57756
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642536163330078 × 217)
    floor (0.642536163330078 × 131072)
    floor (84218.5)     		ty = 84218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57756 / 84218 ti = "17/57756/84218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57756/84218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57756 ÷ 217
    57756 ÷ 131072     		x = 0.440643310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84218 ÷ 217
    84218 ÷ 131072     		y = 0.642532348632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440643310546875 × 2 - 1) × π
    -0.11871337890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.37294908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642532348632812 × 2 - 1) × π
    -0.285064697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.895557158701889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37294908} λ = -0.37294908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.895557158701889))-π/2
    2×atan(0.408380002771005)-π/2
    2×0.38770957771485-π/2
    0.7754191554297-1.57079632675     		φ = -0.79537717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37294908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.368408°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79537717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.571755°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57756 KachelY 84218 -0.37294908 -0.79537717 -21.368408 -45.571755
    Oben rechts KachelX + 1 57757 KachelY 84218 -0.37290114 -0.79537717 -21.365661 -45.571755
    Unten links KachelX 57756 KachelY + 1 84219 -0.37294908 -0.79541073 -21.368408 -45.573678
    Unten rechts KachelX + 1 57757 KachelY + 1 84219 -0.37290114 -0.79541073 -21.365661 -45.573678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79537717--0.79541073) × R
    3.3559999999988e-05 × 6371000     		dl = 213.810759999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79537717--0.79541073) × R
    3.3559999999988e-05 × 6371000     		dr = 213.810759999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37294908--0.37290114) × cos(-0.79537717) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.700015468301273 × 6371000     		do = 213.802742417223m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37294908--0.37290114) × cos(-0.79541073) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.699991501782113 × 6371000     		du = 213.795422425373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79537717)-sin(-0.79541073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700015468301273-0.699991501782113)×R²
    abs(-0.37290114--0.37294908)×2.39665191594796e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39665191594796e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39665191594796e-05×40589641000000     		ar = 45712.5443040392m²