Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57755 / 84562
↖ ↑ ↗
← S 46.229253°
W 21.371155°		 ← 211.29 m → S 46.229253°
W 21.368408°		 →
↑
211.26 m
↓
↑
211.26 m
↓
S 46.231153°
W 21.371155°		 ← 211.28 m →
44 636 m²		 S 46.231153°
W 21.368408°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57755 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440639495849609 y=0.645160675048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440639495849609 × 217)
    floor (0.440639495849609 × 131072)
    floor (57755.5)     		tx = 57755
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645160675048828 × 217)
    floor (0.645160675048828 × 131072)
    floor (84562.5)     		ty = 84562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57755 / 84562 ti = "17/57755/84562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57755/84562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57755 ÷ 217
    57755 ÷ 131072     		x = 0.440635681152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84562 ÷ 217
    84562 ÷ 131072     		y = 0.645156860351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440635681152344 × 2 - 1) × π
    -0.118728637695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.37299702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645156860351562 × 2 - 1) × π
    -0.290313720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.912047452171188
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37299702} λ = -0.37299702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.912047452171188))-π/2
    2×atan(0.401700918064592)-π/2
    2×0.381971825219376-π/2
    0.763943650438752-1.57079632675     		φ = -0.80685268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37299702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.371155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80685268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.229253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57755 KachelY 84562 -0.37299702 -0.80685268 -21.371155 -46.229253
    Oben rechts KachelX + 1 57756 KachelY 84562 -0.37294908 -0.80685268 -21.368408 -46.229253
    Unten links KachelX 57755 KachelY + 1 84563 -0.37299702 -0.80688584 -21.371155 -46.231153
    Unten rechts KachelX + 1 57756 KachelY + 1 84563 -0.37294908 -0.80688584 -21.368408 -46.231153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80685268--0.80688584) × R
    3.31599999999765e-05 × 6371000     		dl = 211.262359999851m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80685268--0.80688584) × R
    3.31599999999765e-05 × 6371000     		dr = 211.262359999851m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37299702--0.37294908) × cos(-0.80685268) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.691774577744959 × 6371000     		do = 211.285762321048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37299702--0.37294908) × cos(-0.80688584) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.691750632080358 × 6371000     		du = 211.278448698717m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80685268)-sin(-0.80688584))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691774577744959-0.691750632080358)×R²
    abs(-0.37294908--0.37299702)×2.39456646013991e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39456646013991e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39456646013991e-05×40589641000000     		ar = 44635.9562398485m²