Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57754 / 84434
↖ ↑ ↗
← S 45.985512°
W 21.373901°		 ← 212.18 m → S 45.985512°
W 21.371155°		 →
↑
212.15 m
↓
↑
212.15 m
↓
S 45.987420°
W 21.373901°		 ← 212.17 m →
45 014 m²		 S 45.987420°
W 21.371155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57754 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440631866455078 y=0.644184112548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440631866455078 × 217)
    floor (0.440631866455078 × 131072)
    floor (57754.5)     		tx = 57754
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.644184112548828 × 217)
    floor (0.644184112548828 × 131072)
    floor (84434.5)     		ty = 84434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57754 / 84434 ti = "17/57754/84434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57754/84434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57754 ÷ 217
    57754 ÷ 131072     		x = 0.440628051757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84434 ÷ 217
    84434 ÷ 131072     		y = 0.644180297851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440628051757812 × 2 - 1) × π
    -0.118743896484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.37304495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.644180297851562 × 2 - 1) × π
    -0.288360595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.905911529019821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37304495} λ = -0.37304495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.905911529019821))-π/2
    2×atan(0.404173301447884)-π/2
    2×0.384098865456882-π/2
    0.768197730913765-1.57079632675     		φ = -0.80259860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37304495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.373901°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80259860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.985512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57754 KachelY 84434 -0.37304495 -0.80259860 -21.373901 -45.985512
    Oben rechts KachelX + 1 57755 KachelY 84434 -0.37299702 -0.80259860 -21.371155 -45.985512
    Unten links KachelX 57754 KachelY + 1 84435 -0.37304495 -0.80263190 -21.373901 -45.987420
    Unten rechts KachelX + 1 57755 KachelY + 1 84435 -0.37299702 -0.80263190 -21.371155 -45.987420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80259860--0.80263190) × R
    3.32999999999029e-05 × 6371000     		dl = 212.154299999381m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80259860--0.80263190) × R
    3.32999999999029e-05 × 6371000     		dr = 212.154299999381m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37304495--0.37299702) × cos(-0.80259860) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.694840237575311 × 6371000     		do = 212.177825471563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37304495--0.37299702) × cos(-0.80263190) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.694816289024574 × 6371000     		du = 212.170512493495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80259860)-sin(-0.80263190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.694840237575311-0.694816289024574)×R²
    abs(-0.37299702--0.37304495)×2.3948550737396e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.3948550737396e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.3948550737396e-05×40589641000000     		ar = 45013.6623027254m²