Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57753 / 84554
↖ ↑ ↗
← S 46.214051°
W 21.376648°		 ← 211.34 m → S 46.214051°
W 21.373901°		 →
↑
211.33 m
↓
↑
211.33 m
↓
S 46.215951°
W 21.376648°		 ← 211.34 m →
44 662 m²		 S 46.215951°
W 21.373901°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.440624237060547 y=0.645099639892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.440624237060547 × 217)
    floor (0.440624237060547 × 131072)
    floor (57753.5)     		tx = 57753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645099639892578 × 217)
    floor (0.645099639892578 × 131072)
    floor (84554.5)     		ty = 84554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57753 / 84554 ti = "17/57753/84554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57753/84554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57753 ÷ 217
    57753 ÷ 131072     		x = 0.440620422363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84554 ÷ 217
    84554 ÷ 131072     		y = 0.645095825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.440620422363281 × 2 - 1) × π
    -0.118759155273438 × 3.1415926535     		Λ = -0.37309289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645095825195312 × 2 - 1) × π
    -0.290191650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.911663956974228
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.37309289} λ = -0.37309289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.911663956974228))-π/2
    2×atan(0.401854997979849)-π/2
    2×0.382104489700641-π/2
    0.764208979401283-1.57079632675     		φ = -0.80658735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.37309289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -21.376648°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80658735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.214051°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57753 KachelY 84554 -0.37309289 -0.80658735 -21.376648 -46.214051
    Oben rechts KachelX + 1 57754 KachelY 84554 -0.37304495 -0.80658735 -21.373901 -46.214051
    Unten links KachelX 57753 KachelY + 1 84555 -0.37309289 -0.80662052 -21.376648 -46.215951
    Unten rechts KachelX + 1 57754 KachelY + 1 84555 -0.37304495 -0.80662052 -21.373901 -46.215951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80658735--0.80662052) × R
    3.31699999999158e-05 × 6371000     		dl = 211.326069999463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80658735--0.80662052) × R
    3.31699999999158e-05 × 6371000     		dr = 211.326069999463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.37309289--0.37304495) × cos(-0.80658735) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.691966151772104 × 6371000     		do = 211.344273960053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.37309289--0.37304495) × cos(-0.80662052) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.691942204975181 × 6371000     		du = 211.336959991883m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80658735)-sin(-0.80662052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691966151772104-0.691942204975181)×R²
    abs(-0.37304495--0.37309289)×2.3946796922969e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3946796922969e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3946796922969e-05×40589641000000     		ar = 44661.7820209453m²